Хайнрих е доминиканец и от 1248 до 1249 г. „папски пьонитенциар“. През 1251 г. той става (княз)-епископ на Кур, но е ръкоположен едва през 1268 г. В конфликта с Хоенщауфените е на страната на папите.
Той има конфликти с благородниците от Реция. През 1255 г., с помощта на брат му Хуго II фон Монфор-Брегенц, побеждава при Домат/Емс един съюз на фрайхерен фон Рецюнс, фрайхерен фон Белмонт и Монталт. Той подсигурява епископството чрез строежи на замъци, например Курбург през 1250 г., и помага за създаването на манастири. Хайнрих I участва през 1269 г. в имперското събрание във Вормс и през 1272 г. освещава катедралата на Кур. Малко след това той умира на 4 ноември 1272 г. и е погребан в Рамош.
Литература
Erwin Gatz: Heinrich von Montfort. In: Erwin Gatz: Die Bischöfe des Heiligen Römischen Reiches 1198 bis 1448. Duncker & Humblot, Berlin 2001, ISBN 3-428-10303-3, S. 139.
Karl Heinz Burmeister: Montfort. Neue Deutsche Biographie (NDB). Band 18, Duncker & Humblot, Berlin 1997, ISBN 3-428-00199-0, S. 51 – 54 (Digitalisat).