Elementu absorbente

N'álxebra, un elementu absorbente ye un tipu especial d'elementu nun conxuntu con dalguna operación binaria definida nél. La resultancia de combinar l'elementu absorbente con cualesquier otru elementu del conxuntu ye'l mesmu elementu absorbente. En teoría de semigrupos denomínase elementu cero, yá que nun puede confundise con otres nociones de cero.^[1][2].

Formalmente, sía (S, ∘) un conxuntu S con una operación binaria ∘ nél (conocíu como magma). Un elementu absorbente ye un elementu z que verifica:

${\displaystyle \forall s\in S\quad s\circ z=z\circ s=z}$

D'esta definición obtiense los conceutos de elementu absorbente pela esquierda (${\displaystyle \forall s\in S\quad z\circ s=z}$) y elementu absorbente pela derecha (${\displaystyle \forall s\in S\quad s\circ z=z}$).

L'elementu absorbente ye especialemente interesante nos semigrupos, especialmente nos semigrupos multiplicativos d'un semianillo.

• L'elementu absorbente ye únicu.
• Si un conxuntu tien elementu absorbente pela derecha, z' y elementu absorbente pela esquierda, z'', entós tien elementu absorbente,z y verificase que z=z'=z''.

• El númberu 0 ye l'elementu absorbente de los númberos enteros, los númberos reales y los númberos complexos (al respective de los sos respectivos productos).
• La matriz nula ye l'elementu absorbente de les matrices cuadraes respectu al productu de matrices.
• El conxuntu vacíu ye l'elementu absorbente de la intersección de conxuntos y el conxuntu universal lo ye de la unión de conxuntos.
• El númberu 1 ye l'únicu elementu absorbente pela esquierda de los númberos naturales al respective de la operación binaria de exponenciación, a * b = a^b.