عملية تصادفية

عملية تصادفية
معلومات عامة
صنف فرعي من
جزء من
ممثلة بـ
نظام تصنيف حوسبة رابطة مكائن الحوسبة (2012)
10003700 عدل القيمة على Wikidata

تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بياناتحول القالب

صورة تمثل محاكاة جهاز الحاسوب لتحقيق عملية فينر، وتعتبر على نطاق واسع العملية التصادفية الأكثر دراستها والمركزية في نظرية الاحتمالات.

العملية التصادفية أو العملية العشوائية،، أو الاحتمالية، في نظرية الاحتمالات والمجالات المرتبطة، هي موضوع رياضي يعرف عادةً بوصفه مجموعة من المتغيرات العشوائية. تاريخيًا، ترتبط المتغيرات العشوائية ويُشار إليها بواسطة أرقام محددة، تظهر عادةً بوصفها نقاطًا زمنية، ما يفسر العملية التصادفية المتمثلة بقيم عددية في بعض النظم الاحتمالية المتغيرة بمرور الزمن، مثل النمو البكتيري، وتقلب التيار الكهربي خلال التشويش الحراري، أو حركة جزيئات الغاز.[1][2][3][4]

تُستخدم العمليات العشوائية بتوسع بوصفها نماذج رياضية للأنظمة والظواهر التي تظهر تفاوتًا في نمط العشوائية. وفي أنظمة عديدة تتضمن علوم الأحياء[5] والكيمياء[6] وعلوم البيئة[7] والعلوم العصبية[8] والفيزياء[9] والتكنولوجيا، ومجالات الهندسة مثل المعالجة التصويرية، ومعالجة الإشارة[10] ونظرية المعلومات[11] وعلم الحاسوب[12] وعلم التعمية[13] والاتصالات.[14] أيضًا تطبق العشوائية في الأسواق المالية التي تحفز الاستخدام الواسع للعملية العشوائية في التمويل.[15][16][17]

أدت تطبيقات الظاهرة ودراستها إلى اقتراح عمليات عشوائية جديدة، مثل عملية فينر والحركة البراونية، التي استخدمها لوي باشوليي لدراسة تغيرات الأسعار في بورصة باريس،[18] وعملية بواسون، التي استخدمها إي. كي. إيرلنغ لدراسة أرقام الاتصالات الهاتفية التي تحدث في فترة معينة.[19] هاتان العمليتان هما الأهم في نظرية العملية التصادفية،[20] وقد اكتُشفتا مرارًا، قبل وبعد باشيليه وإيرلنغ.[18][21]

يُستخدم مُصطلح العمل العشوائي للإشارة إلى العملية التصادفية أو الاحتمالية،[22][23] إذ تُفسر العملية التصادفية بأنها عنصر عشوائي في مجال الدالة.[24][25] يُستخدم مصطلحا العملية التصادفية والاحتمالية بالتبادل، غالبًا في المجال الرياضي غير المحدد، للإشارة إلى المتغيرات العشوائية.[24][26] يُستخدم هذان المصطلحان عندما يُشار إلى المتغيرات العشوائية بواسطة أعداد صحيحة أو فاصلة للخط الحقيقي.[24] أما عندما يُشار إلى المتغيرات العشوائية بواسطة التصميم الديكارتي أو الفضاء الإقليدي متعدد الأبعاد، يُطلق حينها على مجموعة التغيرات العشوائية اسم المجال العشوائي.[3][27] ليست قيم العملية التصادفية أرقامًا دائمًا، بل قد تكون قوى موجهة أو كائن رياضي آخر.[3][25]

استنادًا إلى الخصائص الرياضية، تُصنف العملية التصادفية إلى فئات متعددة، تتضمن الاختيار التجريبي[28] والمراهنات[29] وعملية ماركوف[30] وعملية ليفاي[31] والعمليات الغاوسية[32] والمجالات العشوائية[33] وعملية التجديد.[34] تستخدم دراسة العملية التصادفية علم الرياضيات وتقنيات من الاحتمالية وحساب التفاضل والتكامل والجبر الخطي ونظرية المجموعات وعلم البدائل.[35][36][37] كما هو الحال في فروع التحليل الرياضي والتحليل الحقيقي والنظرية القياسية وتحليل فورييه والتحليل العملي.[38][39][40] تُعَد نظرية العملية التصادفية مساهمةً مهمة في الرياضيات،[41] وتمثل باستمرار موضوعًا فعالًا لبحث الأسباب النظرية والتطبيقات.[42][43][44]

تمهيد

تُعرَف العملية التصادفية أو الاحتمالية بوصفها مجموعة من المتغيرات بواسطة بعض المجموعات الرياضية، ما يعني ترابط ذلك التغير العشوائي للعملية العشوائية على نحو فريد مع عنصر في المجموعة.[2][3] تُستخدم المجموعة للإشارة إلى التغيرات العشوائية التي تُسمى مجموعة المؤشر. تاريخيًا كان جزء من وضع المؤشر مجموعة جزئية للخط الحقيقي، مثل الأرقام الطبيعية، تعطي مجموعة المؤشر تفسيرًا للوقت.[1] كل متغير عشوائي في المجموعة يأخذ قيمًا من نفس المجال الرياضي المعروف بحالة المجال. حالة المجال قد تكون الأعداد الصحيحة أو الخط الحقيقي أو الفضاء الإقليدي.[1][3] الزيادة في مقدار تغير العملية التصادفية تكون بين قيمتي مؤشر، يُفسران غالبًا بوصفهما نقطتين في الزمن.[45][46] العملية التصادفية قد يكون لها العديد من النتائج، وتُسمى الإشارة الناتجة من العملية التصادفية دالة العينة أو التحقيق.[47][25]

التصنيف

تُصنف العملية التصادفية بطرق مختلفة، مثلًا بواسطة حالة المجال، أو وضع المؤشر، أو الاعتماد بين التغيرات العشوائية. من الطرق الشائعة للتصنيف الطريقة الأساسية لوضع المؤشر وحالة المجال.[48][49][50]

عند تفسيرها بوصفها زمنًا، قد يحدد وضع مؤشر العملية التصادفية عددًا محددًا من العناصر، مثل المجموعة المحدودة، مجموعة الأعداد الصحيحة أو الأعداد الطبيعية، حينها يمكن القول إن العملية التصادفية تكون في زمن منفصل.[51][52] إذا احتوى وضع المؤشر بعض فواصل الخط الحقيقي، حينها يُقال إن الوقت مستمر.[45][53][54] العملية التصادفية المتمثلة في نوعين يشيران إلى الزمن المنفصل والمستمر للعملية العشوائية. تعَد العملية العشوائية متصلة الزمن أسهل للدراسة، لأن الزمن المستمر يتطلب الكثير من التقنيات الرياضية الحديثة.[55][56] إذا كان الوضع المؤشر هو الأعداد الصحيحة، أو بعض مجموعاتها، تُسمى العملية التصادفية التسلسل العشوائي.[52]

إن كانت حالة المجال ذات أعداد صحيحة أو طبيعية، تُسمى عملية عشوائية منفصلة أو ذات قيمة صحيحة. إذا كانت حالة المجال هي الخط الحقيقي، تشير العملية التصادفية إلى العملية التصادفية للقيمة الحقيقية أو عملية ذات حالة مجال مستمرة. إذا كانت حالة المجال ذات قياسات هندسية، تُسمى العملية التصادفية عملية ذات قياسات القوة الموجهة أو عملية القوة الموجهة.[48][49]

أصل التسمية

في الأصل تُستخدم كلمة تصادفي أو عشوائي لوصف تعريف (مرتبط بالحدس)، وتتضمن معنى الكلمة الإغريقية (يهدف إلى علامة، تخمين)، وتضمن قاموس أوكسفورد الإنجليزي التعريف سنة 1662. سنة 1713، استخدم ياكوب بيرنولي عبارة (النقل الحديث قبل العشوائية)، التي تُرجمت إلى (فن الحدس أو العشوائية).[57] استخدم هذه العبارة لاديسلاوس بورتكيويسز الذي كتب سنة 1917 كلمة العشوائية مع إدراك معنى الاحتمالية.[58] ظهر مصطلح العملية التصادفية أولًا في ورقة تعود إلى جوزيف دوب سنة 1934، واستخدم الألماني ألكسندر كينجن مصطلح العملية التصادفية،[59] رغم أن المصطلح الألماني قد استخدمه سابقًا أندري كولموغوروف سنة 1931.[60]

وفقًا لقاموس أوكسفورد، ظهرت كلمة (عشوائي) الإنكليزية بمعناها المرتبط بالفرصة أو الحظ في القرن الـ16، أما قبل ذلك فقد استُخدمت الكلمة للتعبير عن التهور أو السرعة الكبيرة أو القوة أو العنف، وتأتي الكلمة من كلمة فرنسية متوسطة بمعنى سرعة أو تسرع، ومن المحتمل أنها مُشتقة من الفعل الفرنسي (يجري) أو (يعدو سريعًا).[61]

علم المصطلحات

يتنوع تعريف العملية التصادفية،[62] لكنها تُعرف تقليديًا بوصفها مجموعة من تغيرات عشوائية تشير إليها بعض المجموعات.[63][64] يُعَد مصطلحا العملية الاحتمالية والعملية التصادفية مترادفين ويُستخدما بالتبادل، دون تحديد وضع المؤشر بدقة.[24][26][27][65][66][67] قد يُستخدم مصطلح (المجموعة)[25][65] أو (العائلة)[2][68] بدلاً من (وضع المؤشر)، وتُستخدم أحيانًا مصطلحات (عامل متغير القيمة)[25] أو (مجال العامل المتغير).[27]

يُستخدم مصطلح العمل العشوائي أيضًا للإشارة إلى العملية التصادفية أو الاحتمالية،[3][69][70] رغم أنه يستخدم أحيانًا فقط عندما تأخذ العملية التصادفية قيمًا حقيقية.[25][68] يُستخدم هذا المصطلح أيضًا حين يكون وضع المؤشر مجالات رياضية سوى الخط الحقيقي،[3][71] أما مصطلحات العملية التصادفية والعملية الاحتمالية فتُستخدم عادةً عند تفسير وضع المؤشر بوصفه نقاطًا زمنية،[3][71][72] وقد تُستخدم مصطلحات أخرى كما هو الحال في المجال العشوائي، عندما يكون وضع المؤشر مجالًا ذا أبعاد إقليدية أو متعددة.[3][25][27]

أمثلة

عملية برنولي

عملية برنولي من العمليات العشوائية البسيطة،[73] وهي تسلسل لتوزيع مستقل ومتطابق لتغيرات عشوائية، إذ يأخذ التغير العشوائي القيمة (1) أو (0)، ولتكن (1) مع الاحتمالية p و(0) مع الاحتمالية 1- p. يمكن ربط هذه العملية برمي عملة معدنية عدة مرات، حيث إن احتمالية الحصول على الصورة هي p وقيمته (1)، وللكتابة هي (0).[74] أي إن عملية برنولي تسلسل لتوزيع مستقل ومتطابق لتغيرات عشوائية،[75] حيث إن كل رمية للعملة المعدنية هي مثال لتجربة برنولي.[76]

الاختبار التجريبي

المقالة الرئيسة: سير عشوائي

الاختبارات التجريبية هي عملية عشوائية تعرف عادةً بأنها مجموع المتغيرات العشوائية أو القوى الموجهة العشوائية في المجال الإقليدي، إذ إنها عمليات تتغير في وقت منفصل.[77][78][79][80][81] لكن البعض يستخدم المصطلح للإشارة إلى العمليات التي تتغير في وقت مستمر،[82] خاصةً عملية واينر المُستخدمة في التمويل، والتي أدت إلى بعض الارتباك، ما أدى إلى انتقادها.[83] للاختبارات التجريبية أنواع متعددة أخرى، التي قد تكون -وفقًا لحالاتها المجالية- أهدافًا رياضية أخرى، مثل الشبكات والمجموعات، وقد دُرست عمومًا باستفاضة ولها العديد من الاستعمالات.[82][84]

يُعرف المثال الكلاسيكي للاختبار التجريبي بالاختبار التجريبي البسيط، وهو عملية عشوائية في الوقت المنفصل مع الأعداد الصحيحة كما في حالة المجال، وبُنيت عمومًا على أساس عملية برنولي، إذ يأخذ كل متغير لبرنولي إما قيمة (+1) أو (-1). أي إن الاختبار التجريبي البسيط يأخذ مجالاً على الأعداد الصحيحة، وترتفع قيمته بمقدار (1) مع الاحتمالية (p)، أو تنخفض بمقدار (1) مع الاحتمالية (1- p)، إذن فإن وضع المؤشر لهذا الاختبار التجريبي هو الأعداد الطبيعية، أما مجاله فهو الأعداد الصحيحة.[85][86]

انظر أيضًا

مراجع

  1. ^ ا ب ج Joseph L. Doob (1990). Stochastic processes. Wiley. ص. 46, 47. مؤرشف من الأصل في 2020-07-30.
  2. ^ ا ب ج Emanuel Parzen (2015). Stochastic Processes. Courier Dover Publications. ص. 7, 8. ISBN:978-0-486-79688-8. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
  3. ^ ا ب ج د ه و ز ح ط Iosif Ilyich Gikhman؛ Anatoly Vladimirovich Skorokhod (1969). Introduction to the Theory of Random Processes. Courier Corporation. ص. 1. ISBN:978-0-486-69387-3. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
  4. ^ Gagniuc، Paul A. (2017). Markov Chains: From Theory to Implementation and Experimentation. NJ: John Wiley & Sons. ص. 1–235. ISBN:978-1-119-38755-8.
  5. ^ Paul C. Bressloff (2014). Stochastic Processes in Cell Biology. Springer. ISBN:978-3-319-08488-6. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
  6. ^ N.G. Van Kampen (2011). Stochastic Processes in Physics and Chemistry. Elsevier. ISBN:978-0-08-047536-3. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
  7. ^ Russell Lande؛ Steinar Engen؛ Bernt-Erik Sæther (2003). Stochastic Population Dynamics in Ecology and Conservation. Oxford University Press. ISBN:978-0-19-852525-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
  8. ^ Carlo Laing؛ Gabriel J Lord (2010). Stochastic Methods in Neuroscience. OUP Oxford. ISBN:978-0-19-923507-0. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
  9. ^ Wolfgang Paul؛ Jörg Baschnagel (2013). Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer Science & Business Media. ISBN:978-3-319-00327-6. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
  10. ^ Edward R. Dougherty (1999). Random processes for image and signal processing. SPIE Optical Engineering Press. ISBN:978-0-8194-2513-3. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  11. ^ Thomas M. Cover؛ Joy A. Thomas (2012). Elements of Information Theory. John Wiley & Sons. ص. 71. ISBN:978-1-118-58577-1. مؤرشف من الأصل في 29 مايو 2020. اطلع عليه بتاريخ أكتوبر 2020. {{استشهاد بكتاب}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ الوصول= (مساعدة)
  12. ^ Michael Baron (2015). Probability and Statistics for Computer Scientists, Second Edition. CRC Press. ص. 131. ISBN:978-1-4987-6060-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  13. ^ Jonathan Katz؛ Yehuda Lindell (2007). Introduction to Modern Cryptography: Principles and Protocols. CRC Press. ص. 26. ISBN:978-1-58488-586-3. مؤرشف من الأصل في 2021-08-17.
  14. ^ François Baccelli؛ Bartlomiej Blaszczyszyn (2009). Stochastic Geometry and Wireless Networks. Now Publishers Inc. ISBN:978-1-60198-264-3. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
  15. ^ J. Michael Steele (2001). Stochastic Calculus and Financial Applications. Springer Science & Business Media. ISBN:978-0-387-95016-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
  16. ^ Marek Musiela؛ Marek Rutkowski (2006). Martingale Methods in Financial Modelling. Springer Science & Business Media. ISBN:978-3-540-26653-2. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
  17. ^ Steven E. Shreve (2004). Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models. Springer Science & Business Media. ISBN:978-0-387-40101-0. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
  18. ^ ا ب Jarrow، Robert؛ Protter، Philip (2004). "A short history of stochastic integration and mathematical finance: the early years, 1880–1970". A Festschrift for Herman Rubin. Institute of Mathematical Statistics Lecture Notes - Monograph Series. ص. 75–80. CiteSeerX:10.1.1.114.632. DOI:10.1214/lnms/1196285381. ISBN:978-0-940600-61-4. ISSN:0749-2170.
  19. ^ Stirzaker، David (2000). "Advice to Hedgehogs, or, Constants Can Vary". The Mathematical Gazette. ج. 84 ع. 500: 197–210. DOI:10.2307/3621649. ISSN:0025-5572. JSTOR:3621649.
  20. ^ Donald L. Snyder؛ Michael I. Miller (2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. ص. 32. ISBN:978-1-4612-3166-0. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
  21. ^ Guttorp، Peter؛ Thorarinsdottir، Thordis L. (2012). "What Happened to Discrete Chaos, the Quenouille Process, and the Sharp Markov Property? Some History of Stochastic Point Processes". International Statistical Review. ج. 80 ع. 2: 253–268. DOI:10.1111/j.1751-5823.2012.00181.x. ISSN:0306-7734.
  22. ^ Gusak، Dmytro؛ Kukush، Alexander؛ Kulik، Alexey؛ Mishura، Yuliya؛ Pilipenko، Andrey (2010). Theory of Stochastic Processes: With Applications to Financial Mathematics and Risk Theory. Springer Science & Business Media. ص. 21. ISBN:978-0-387-87862-1. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  23. ^ Valeriy Skorokhod (2005). Basic Principles and Applications of Probability Theory. Springer Science & Business Media. ص. 42. ISBN:978-3-540-26312-8. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
  24. ^ ا ب ج د Olav Kallenberg (2002). Foundations of Modern Probability. Springer Science & Business Media. ص. 24–25. ISBN:978-0-387-95313-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  25. ^ ا ب ج د ه و ز John Lamperti (1977). Stochastic processes: a survey of the mathematical theory. Springer-Verlag. ص. 1–2. ISBN:978-3-540-90275-1. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  26. ^ ا ب Loïc Chaumont؛ Marc Yor (2012). Exercises in Probability: A Guided Tour from Measure Theory to Random Processes, Via Conditioning. Cambridge University Press. ص. 175. ISBN:978-1-107-60655-5. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
  27. ^ ا ب ج د Robert J. Adler؛ Jonathan E. Taylor (2009). Random Fields and Geometry. Springer Science & Business Media. ص. 7–8. ISBN:978-0-387-48116-6. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
  28. ^ Gregory F. Lawler؛ Vlada Limic (2010). Random Walk: A Modern Introduction. Cambridge University Press. ISBN:978-1-139-48876-1. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
  29. ^ David Williams (1991). Probability with Martingales. Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-40605-5. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
  30. ^ L. C. G. Rogers؛ David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. ISBN:978-1-107-71749-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  31. ^ David Applebaum (2004). Lévy Processes and Stochastic Calculus. Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-83263-2. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
  32. ^ Mikhail Lifshits (2012). Lectures on Gaussian Processes. Springer Science & Business Media. ISBN:978-3-642-24939-6. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
  33. ^ Robert J. Adler (2010). The Geometry of Random Fields. SIAM. ISBN:978-0-89871-693-1. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
  34. ^ Samuel Karlin؛ Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. ISBN:978-0-08-057041-9. مؤرشف من الأصل في 2020-06-20.
  35. ^ Bruce Hajek (2015). Random Processes for Engineers. Cambridge University Press. ISBN:978-1-316-24124-0. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
  36. ^ G. Latouche؛ V. Ramaswami (1999). Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modeling. SIAM. ISBN:978-0-89871-425-8. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
  37. ^ D.J. Daley؛ David Vere-Jones (2007). An Introduction to the Theory of Point Processes: Volume II: General Theory and Structure. Springer Science & Business Media. ISBN:978-0-387-21337-8. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  38. ^ Patrick Billingsley (2008). Probability and Measure. Wiley India Pvt. Limited. ISBN:978-81-265-1771-8. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
  39. ^ Pierre Brémaud (2014). Fourier Analysis and Stochastic Processes. Springer. ISBN:978-3-319-09590-5. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
  40. ^ Adam Bobrowski (2005). Functional Analysis for Probability and Stochastic Processes: An Introduction. Cambridge University Press. ISBN:978-0-521-83166-6. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  41. ^ Applebaum، David (2004). "Lévy processes: From probability to finance and quantum groups". Notices of the AMS. ج. 51 ع. 11: 1336–1347.
  42. ^ Jochen Blath؛ Peter Imkeller؛ Sylvie Rœlly (2011). Surveys in Stochastic Processes. European Mathematical Society. ISBN:978-3-03719-072-2. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  43. ^ Michel Talagrand (2014). Upper and Lower Bounds for Stochastic Processes: Modern Methods and Classical Problems. Springer Science & Business Media. ص. 4–. ISBN:978-3-642-54075-2. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  44. ^ Paul C. Bressloff (2014). Stochastic Processes in Cell Biology. Springer. ص. vii–ix. ISBN:978-3-319-08488-6. مؤرشف من الأصل في 2020-05-26.
  45. ^ ا ب Samuel Karlin؛ Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. ص. 27. ISBN:978-0-08-057041-9. مؤرشف من الأصل في 2020-06-20.
  46. ^ Applebaum، David (2004). "Lévy processes: From probability to finance and quantum groups". Notices of the AMS. ج. 51 ع. 11: 1337.
  47. ^ L. C. G. Rogers؛ David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. ص. 121–124. ISBN:978-1-107-71749-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  48. ^ ا ب Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ص. 294, 295. ISBN:978-1-118-59320-2. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  49. ^ ا ب Samuel Karlin؛ Howard E. Taylor (2012). A First Course in Stochastic Processes. Academic Press. ص. 26. ISBN:978-0-08-057041-9. مؤرشف من الأصل في 2020-06-20.
  50. ^ Donald L. Snyder؛ Michael I. Miller (2012). Random Point Processes in Time and Space. Springer Science & Business Media. ص. 24, 25. ISBN:978-1-4612-3166-0. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
  51. ^ Patrick Billingsley (2008). Probability and Measure. Wiley India Pvt. Limited. ص. 482. ISBN:978-81-265-1771-8. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
  52. ^ ا ب Alexander A. Borovkov (2013). Probability Theory. Springer Science & Business Media. ص. 527. ISBN:978-1-4471-5201-9. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  53. ^ Pierre Brémaud (2014). Fourier Analysis and Stochastic Processes. Springer. ص. 120. ISBN:978-3-319-09590-5. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
  54. ^ Jeffrey S Rosenthal (2006). A First Look at Rigorous Probability Theory. World Scientific Publishing Co Inc. ص. 177–178. ISBN:978-981-310-165-4. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  55. ^ Peter E. Kloeden؛ Eckhard Platen (2013). Numerical Solution of Stochastic Differential Equations. Springer Science & Business Media. ص. 63. ISBN:978-3-662-12616-5. مؤرشف من الأصل في 29 مايو 2020. اطلع عليه بتاريخ أكتوبر 2020. {{استشهاد بكتاب}}: تحقق من التاريخ في: |تاريخ الوصول= (مساعدة)
  56. ^ Davar Khoshnevisan (2006). Multiparameter Processes: An Introduction to Random Fields. Springer Science & Business Media. ص. 153–155. ISBN:978-0-387-21631-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  57. ^ O. B. Sheĭnin (2006). Theory of probability and statistics as exemplified in short dictums. NG Verlag. ص. 5. ISBN:978-3-938417-40-9. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  58. ^ Oscar Sheynin؛ Heinrich Strecker (2011). Alexandr A. Chuprov: Life, Work, Correspondence. V&R unipress GmbH. ص. 136. ISBN:978-3-89971-812-6. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
  59. ^ Khintchine، A. (1934). "Korrelationstheorie der stationeren stochastischen Prozesse". Mathematische Annalen. ج. 109 ع. 1: 604–615. DOI:10.1007/BF01449156. ISSN:0025-5831.
  60. ^ Kolmogoroff، A. (1931). "Über die analytischen Methoden in der Wahrscheinlichkeitsrechnung". Mathematische Annalen. ج. 104 ع. 1: 1. DOI:10.1007/BF01457949. ISSN:0025-5831.
  61. ^ "Random". قاموس أوكسفورد الإنجليزي (ط. الثالثة). مطبعة جامعة أكسفورد. سبتمبر 2005.
  62. ^ Bert E. Fristedt؛ Lawrence F. Gray (2013). A Modern Approach to Probability Theory. Springer Science & Business Media. ص. 580. ISBN:978-1-4899-2837-5. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  63. ^ L. C. G. Rogers؛ David Williams (2000). Diffusions, Markov Processes, and Martingales: Volume 1, Foundations. Cambridge University Press. ص. 121, 122. ISBN:978-1-107-71749-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  64. ^ Søren Asmussen (2003). Applied Probability and Queues. Springer Science & Business Media. ص. 408. ISBN:978-0-387-00211-8. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
  65. ^ ا ب David Stirzaker (2005). Stochastic Processes and Models. Oxford University Press. ص. 45. ISBN:978-0-19-856814-8. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
  66. ^ Murray Rosenblatt (1962). Random Processes. Oxford University Press. ص. 91. مؤرشف من الأصل في 2021-03-08.
  67. ^ John A. Gubner (2006). Probability and Random Processes for Electrical and Computer Engineers. Cambridge University Press. ص. 383. ISBN:978-1-139-45717-0. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
  68. ^ ا ب Kiyosi Itō (2006). Essentials of Stochastic Processes. American Mathematical Soc. ص. 13. ISBN:978-0-8218-3898-3. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
  69. ^ M. Loève (1978). Probability Theory II. Springer Science & Business Media. ص. 163. ISBN:978-0-387-90262-3. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
  70. ^ Pierre Brémaud (2014). Fourier Analysis and Stochastic Processes. Springer. ص. 133. ISBN:978-3-319-09590-5. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
  71. ^ ا ب Gusak et al. (2010), p. 1
  72. ^ Richard F. Bass (2011). Stochastic Processes. Cambridge University Press. ص. 1. ISBN:978-1-139-50147-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
  73. ^ Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ص. 293. ISBN:978-1-118-59320-2. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  74. ^ Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ص. 301. ISBN:978-1-118-59320-2. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  75. ^ Dimitri P. Bertsekas؛ John N. Tsitsiklis (2002). Introduction to Probability. Athena Scientific. ص. 273. ISBN:978-1-886529-40-3. مؤرشف من الأصل في 2020-05-30.
  76. ^ Oliver C. Ibe (2013). Elements of Random Walk and Diffusion Processes. John Wiley & Sons. ص. 11. ISBN:978-1-118-61793-9. مؤرشف من الأصل في 2020-05-27.
  77. ^ Achim Klenke (2013). Probability Theory: A Comprehensive Course. Springer. ص. 347. ISBN:978-1-4471-5362-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  78. ^ Gregory F. Lawler؛ Vlada Limic (2010). Random Walk: A Modern Introduction. Cambridge University Press. ص. 1. ISBN:978-1-139-48876-1. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
  79. ^ Olav Kallenberg (2002). Foundations of Modern Probability. Springer Science & Business Media. ص. 136. ISBN:978-0-387-95313-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  80. ^ Ionut Florescu (2014). Probability and Stochastic Processes. John Wiley & Sons. ص. 383. ISBN:978-1-118-59320-2. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  81. ^ Rick Durrett (2010). Probability: Theory and Examples. Cambridge University Press. ص. 277. ISBN:978-1-139-49113-6. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  82. ^ ا ب Weiss، George H. (2006). "Random Walks". Encyclopedia of Statistical Sciences. ص. 1. DOI:10.1002/0471667196.ess2180.pub2. ISBN:978-0471667193.
  83. ^ Aris Spanos (1999). Probability Theory and Statistical Inference: Econometric Modeling with Observational Data. Cambridge University Press. ص. 454. ISBN:978-0-521-42408-0. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.
  84. ^ Fima C. Klebaner (2005). Introduction to Stochastic Calculus with Applications. Imperial College Press. ص. 81. ISBN:978-1-86094-555-7. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
  85. ^ Allan Gut (2012). Probability: A Graduate Course. Springer Science & Business Media. ص. 88. ISBN:978-1-4614-4708-5. مؤرشف من الأصل في 2020-05-28.
  86. ^ Geoffrey Grimmett؛ David Stirzaker (2001). Probability and Random Processes. OUP Oxford. ص. 71. ISBN:978-0-19-857222-0. مؤرشف من الأصل في 2020-05-29.

Read other articles:

Bahasa Latin Umum

Untuk kata-kata Latin yang cabul atau kasar, lihat kecabulan bahasa Latin. Artikel ini membutuhkan rujukan tambahan agar kualitasnya dapat dipastikan. Mohon bantu kami mengembangkan artikel ini dengan cara menambahkan rujukan ke sumber tepercaya. Pernyataan tak bersumber bisa saja dipertentangkan dan dihapus.Cari sumber: Bahasa Latin Umum – berita · surat kabar · buku · cendekiawan · JSTOR (Oktober 2012) PemberitahuanTemplat ini mendeteksi bahwa artike...

 

Adriano Pappalardo

Disambiguazione – Se stai cercando l'album omonimo, vedi Adriano Pappalardo (album). Adriano PappalardoAdriano Pappalardo nel 1972 Nazionalità Italia GenerePop Periodo di attività musicale1971 – in attività Album pubblicati9 Studio7 Live0 Raccolte2 Modifica dati su Wikidata · Manuale Adriano Pappalardo (Copertino, 26 marzo 1945[1]) è un cantautore e attore italiano. Indice 1 Biografia 2 Discografia 2.1 Album in studio 2.2 Raccolte 2.3 Singoli 3 F...

 

SDSS J090745.0+024507

SDSS J090744.99+024506.8 Données d'observation(époque J2000.0) Ascension droite 09h 07m 44,9922286848s Déclinaison +02° 45′ 06,878226600″ Constellation Hydre Magnitude apparente ~20,11 Localisation dans la constellation : Hydre Caractéristiques Type spectral B9 Variabilité Pulsante Astrométrie Vitesse radiale 853 ± 12 km/s Mouvement propre μα = −0,604 ± 0,602 mas/aμδ = −0,474 ± 0,385 mas/a Parallaxe 0,1...

Marianne Williamson 2024 presidential campaign

American political campaign Marianne Williamson for PresidentCampaign2024 U.S. presidential election (Democratic Party primaries)CandidateMarianne WilliamsonAnnouncedMarch 4, 2023February 28, 2024HeadquartersWashington, D.C.Key peopleCarlos Cardona (former campaign manager)[1][2]Peter Daou (former campaign manager)[3]Harvey J. Kaye (campaign advisor)[4]Robin Vogt (national volunteer coordinator)[5][better source needed][6]...

 

Thornton, Lancashire

This article is about the village near Blackpool. For the village near Liverpool, in Lancashire until 1974, see Thornton, Merseyside. Human settlement in EnglandThorntonMarsh Mill, on Fleetwood RoadThorntonShown within Wyre BoroughShow map of the Borough of WyreThorntonShown on the FyldeShow map of the FyldeThorntonLocation within LancashireShow map of LancashireOS grid referenceSD339421DistrictWyreShire countyLancashireRegionNorth WestCountryEnglandSovereign stateUnited ...

 

哈萨克斯坦总统

此条目序言章节没有充分总结全文内容要点。 (2019年3月21日)请考虑扩充序言，清晰概述条目所有重點。请在条目的讨论页讨论此问题。 哈萨克斯坦總統哈薩克總統旗現任Қасым-Жомарт Кемелұлы Тоқаев卡瑟姆若马尔特·托卡耶夫自2019年3月20日在任任期7年首任努尔苏丹·纳扎尔巴耶夫设立1990年4月24日（哈薩克蘇維埃社會主義共和國總統） 哈萨克斯坦 哈萨克斯坦政府...

Chen Hanwei

Malaysian actor based in Singapore (born 1969) This biography of a living person needs additional citations for verification. Please help by adding reliable sources. Contentious material about living persons that is unsourced or poorly sourced must be removed immediately from the article and its talk page, especially if potentially libelous.Find sources: Chen Hanwei – news · newspapers · books · scholar · JSTOR (March 2013) (Learn how and when to remov...

 

بيلي كراوفورد

بيلي كراوفورد (بالإنجليزية: Billy Crawford)‏  معلومات شخصية الميلاد 16 مايو 1982 (العمر 42 سنة)مانيلا الجنسية الولايات المتحدة الأمريكية الحياة العملية المهنة ممثل،  ومغني،  وكاتب أغاني،  وفنان كوميدي  اللغة الأم الفلبينية،  وإنجليزية فلبينية،  والفرنسية  اللغا...

 

رومان فيشر (مبارز بالسيف)

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (يوليو 2019) رومان فيشر (بالألمانية: Roman Fischer)‏  معلومات شخصية الميلاد 3 أغسطس 1915   فيينا،  وفيلز  مواطنة النمسا  الطول 183 سنتيمتر[1]  الوزن 87 كيلوغرام[1&#...

Motore a combustione interna

Questa voce o sezione sull'argomento meccanica non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. Modello del motore Barsanti-Matteucci all'osservatorio Ximeniano di Firenze Il motore a combustione interna (MCI) o motore endotermico, impropriamente detto motore a scoppio, è una macchina motrice per convertire l'energia termica, posseduta da un flusso aerif...

 

Istituto Poligrafico e Zecca dello Stato

Istituto Poligrafico e Zecca dello Stato S.p.A.Logo Stabilimento IPZS, via Salaria 712, Roma Stato Italia Forma societariaSocietà per azioni Fondazione6 dicembre 1928 a Roma Sede principaleRoma GruppoMinistero dell'economia e delle finanze Persone chiave Paolo Perrone, presidente Francesco Soro, amministratore delegato Settore Sicurezza Anticontraffazione Editoria Numismatica Prodotti Servizi informatici Diploma di maturità Diploma di licenza media Bollini farmaceutici GiocoLotto G...

 

Yrjö Saarela

Finnish wrestler (1884–1951) Yrjö SaarelaSaarela, c. 1910Personal informationBirth nameYrjö Erik Mikael SarkkinenFull nameYrjö Erik Mikael SaarelaNational teamFinlandBorn(1884-07-13)13 July 1884Oulujoki, Grand Duchy of Finland, Russian EmpireDied30 June 1951(1951-06-30) (aged 66)Liminka, FinlandResting placeOulujoki parish church cemeteryOccupationFarmerHeight180 cm (5 ft 11 in)Weight82–86 kg (181–190 lb)SpouseEster Elisabeth Markukse...

Sei whale

Third-largest species of baleen whale Sei whale[1] Sei whale mother and calf Size compared to an average human Conservation status Endangered  (IUCN 3.1)[2] CITES Appendix I (CITES)[3] Scientific classification Domain: Eukaryota Kingdom: Animalia Phylum: Chordata Class: Mammalia Order: Artiodactyla Infraorder: Cetacea Family: Balaenopteridae Genus: Balaenoptera Species: B. borealis Binomial name Balaenoptera borealisLesson, 1828 Subspecies B.b.borealis B...

 

Шувалов, Константин Викторович

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Шувалов; Шувалов, Константин. Константин Викторович Шувалов Чрезвычайный и полномочный посол Российской Федерации в Боснии и Герцеговине 30 марта 2005 — 1 сентября 2009 Президент Владимир ПутинДмитрий Медведев П�...

 

فوزي القطب

فوزي القطب معلومات شخصية الميلاد سنة 1917   دمشق  الوفاة سنة 1988 (70–71 سنة)  دمشق  مواطنة سوريا  الحياة العملية المهنة ثوري،  ومترجم  اللغات العربية،  والإنجليزية،  والألمانية،  والعثمانية  تعديل مصدري - تعديل   فوزي القطب، وهو صانع وخبير متفجرا�...

أمير حسين صادقي

أمير حسين صادقي أمير حسين صادقي في المباراة الودية سنة 2014م معلومات شخصية الميلاد 6 ديسمبر 1981 (العمر 42 سنة)طهران الطول 1.88 م (6 قدم 2 بوصة) مركز اللعب مدافع الجنسية إيران  مسيرة الشباب سنوات فريق 1995–1999 شاهين طهران 1999–2001 مقاومت لكرة القدم 2001–2003 استقلال طهران المسيرة ...

 

Americano (song)

For other songs, see Americano. 2011 song by Lady GagaAmericanoSong by Lady Gagafrom the album Born This Way ReleasedMay 23, 2011RecordedAugust 2010Studio Studio Bus (Europe) The Mix Room (Burbank) Genre Mariachi house techno Length4:06Label Streamline Interscope KonLive Songwriter(s) Stefani Germanotta Fernando Garibay Paul Blair Brian Lee[1] Producer(s) Lady Gaga Fernando Garibay DJ White Shadow Audio videoAmericano on YouTube Americano is a song recorded by American singer Lady Gag...

 

Svislach (Berezina)

River in BelarusSvislachThe Svislach in MinskNative nameСвіслач (Belarusian)Свислочь (Russian)LocationCountryBelarusPhysical characteristicsSource  • locationGrodno Region Mouth  • locationBerezina • coordinates53°25′35″N 28°58′58″E / 53.4263°N 28.9828°E / 53.4263; 28.9828Length327 km (203 mi)Basin size5,160 km2 (1,990 sq mi)Discharge  ...

Frederick Lindemann, 1st Viscount Cherwell

British physicist (1886–1957) The Right HonourableThe Viscount CherwellCH PC FRSPaymaster GeneralIn office1942–1945Preceded bySir William JowittSucceeded byVacant Next holder Arthur GreenwoodPaymaster GeneralIn office1951–1953Preceded byThe Lord Macdonald of GwaenysgorSucceeded byThe Earl of Selkirk Personal detailsBorn5 April 1886Baden-Baden, German EmpireDied3 July 1957 (aged 71)Oxford, United KingdomAlma materUniversity of BerlinKnown forDehousing paperLindemann mechanismLind...

 

Scandinaves

Scandinaves Des Scandinaves sur le pont d'un paquebot. Populations importantes par région États-Unis 574 284 (2013)[1] Autres Régions d’origine Scandinavie Langues Langues scandinaves Religions Protestantisme modifier Les Scandinaves sont les habitants de la Scandinavie. Définition Répartition des Scandinaves aux États-Unis en 2000. La forme Scandinaviens était utilisée en français au XVIIIe siècle[2],[3]. La définition de la Scandinavie et des Scandinaves varie selon ...