Polihedron

Contoh-contoh polihedron
Tetrahedron beraturan Bangun ruang Platonik	Dodekahedron stilasi kecil Bangun ruang Kepler–Poinsot
Ikosidodekahedron Bangun ruang Archimedes	Kubikuboktahedron besar Star polyhedron seragam
Triakontahedron belah ketupat Bangun ruang Catalan	Sebuah polihedron toroidal

Dalam geometri, polihedron adalah suatu bangun ruang berdimensi tiga yang memiliki muka berupa poligon datar, garis-garis lurus yang disebut rusuk, dan ujung yang tajam yang disebut titik sudut. Kata polihedron berasal dari bahasa Yunani Klasik πολύεδρον; πολύς (dibaca: poli-) yang berarti "banyak" + εδρον (dibaca: -hedron) yang berarti "dasar" atau "kursi".

Polihedron cembung merupakan selubung cembung dari jumlah titik yang terhingga banyaknya, tetapi tidak semua titik terletak di bidang yang sama. Contoh polihedron cembung di antaranya adalah kubus dan limas.

Polihedron merupakan contoh dari politop berdimensi-3, konsep yang lebih umum dalam sebarang dimensi.

Definisi

Polihedron cembung didefinisikan dengan baik, yang terdiri dari beberapa definisi standar yang serupa. Akan tetapi mengenai definisi polihedron secara matematis dan formal tanpa mencakup sifat kecembungan sudah menjadi permasalahan. Banyak "polihedron" didefinisikan tergantung konteks yang dimaksud.^[1] Ada yang mendefinisikannya lebih cermat dibandingkan definisi lainnya, dan tidak ada persetujuan umum definisi manakah yang dipilih. Ada beberapa definisi yang mengecualikan bentuk-bentuk yang sering kali dianggap polihedron (seperti polihedron yang saling menyilang diri) atau mencakup bentuk-bentuk yang sering kali tidak dianggap polihedron yang valid (seperti bangun ruang yang perbatasannya bukan manifold). Sesuai dengan pengamatan Branko Grünbaum,

"Dosa Awal Mula dalam teori polihedron ditarik kembali dari Eukildes, dan lalu Kepler, Poinsot, Cauchy dan banyak [matematikawan] lainnya ... dari tiap tahap ... penulis gagal mendefinisikan apa itu polihedron".^[2]

Meskipun demikian, terdapat persetujuan umum bahwa polihedron adalah bangun ruang atau permukaan yang dapat digambarkan dengan titik sudut (ujungnya), rusuk (ruas garis yang menghubungkan pasangan titik sudut), muka (poligon berdimensi dua), dan kadangkala dapat dikatakan memiliki volume interior berdimensi tiga. Seseorang dapat membedakan definisi-definisi yang berbeda tersebut, apakah polihedron didefinisikan sebagai bangun ruang, sebagai permukaan, atau hal-hal yang lebih abstrak berdasarkan geometri insidensi.^[3]

Adapun definisi yang umum bahwa poliihedron adalah bangun ruang yang batasnya diselimuti oleh terhingga banyaknya bidang^[4]^[5] (yang kadangkala dinamai bidang banyak^[6]^[7]) atau bangun ruang yang terbentuk sebagai gabungan dari terhingga banyaknya polihedron cembung.^[8] Perubahan definisi tersebut membutuhkan bangun ruang harus memiliki batas, memiliki interior yang terhubung, dan kemungkinan juga memiliki batas yang terhubung. Muka polihedoron tersebut dapat didefinisikan sebagai komponen terhubung dari bagian-bagian batas di dalam tiap bidang yang menyelimutinya, serta rusuk dan titik sudut masing-masing sebagai ruas garis dan ujungnya ketika muka bertemu. Akan tetapi, definisi ini tidak mencakup star polyhedron yang saling menyilang diri, yang mukanya tidak membentuk poligon sederhana, dan beberapa polihedron yang rusuknya dapat memiliki lebih dari dua muka.^[9]
Definisi yang berdasarkan gagasan permukaan batas alih-alih sebagai bangun ruang juga kerapkali ditemukan.^[10] Sebagai contoh, (O'Rourke 1993) mendefinisikan polihedron sebagai gabungan poligon cembung (mukanya) yang disusun di dalam ruang sehingga perpotongan sebarang dua poligon membagi titik sudut atau rusuk atau himpunan kosong, dan gabungannya adalah manifold.^[11] Apabila bagian planar permukaan tersebut bukan poligon cembung itu sendiri, O'Rourke memerlukannya untuk membaginya lagi menjadi poligon cembung yang lebih kecil, dengan sudut dihedral yang datar di antaranya. Adapun definisi yang agak lebih umum, Grünbaum mendefinisikan acoptic polyhedron sebagai kumpulan poligon sederhana yang membentuk manifold yang terbenam, dengan tiap-tiap titik sudut berdekatan dengan setidaknya tiga rusuk dan tiap dua muka hanya berpotongan di titik sudut dan rusuk yang sama.^[12] Cromwell, dalam bukunya Polyhedra, memberikan definisi yang serupa tapi tidak memberikan batasan setidaknya tiga rusuk setiap titik sudut. Lagi-lagi, definisi ini tidak mencakup polihedron yang tak menyilang diri.^[10] Gagasan yang serupa membentuk basis definisi polihedron secara topologis, yakni sebagai pembagian manifold topologis yang lebih kecil menjadi cakram topologis (mukanya) yang perpotongan sepasangannya diperlukan berupa titik (titik sudut), busur topologis (rusuk), atau himpunan kosong. Akan tetapi, terdapat polihedron topologis (bahkan semua mukanya segitiga) yang tidak dapat direalisasikan sebagai acoptic polyhedra.^[13]

Adapun pendekatan modern yang didasarkan pada teori polihedron abstrak. Poliheron abstrak dapat didefinisikan sebagai himpunan terurut parsial yang anggotanya adalah titik sudut, rusuk, dan muka polihedron. Anggota titik sudut atau rusuk kurang dari anggota rusuk atau muka (pada urutan parsial ini) ketika anggota titik sudut atau rusuk merupakan bagian dari anggota rusuk atau muka. Selain itu, seeorang dapat mencakup anggota paling bawah khusus dari urutan parsial ini (yang mewakili himpuna kosong) dan anggota paling atas yang mewakili seluruh polihedron. Apabil bagian-bagian urutan parsial di antara tiga tingkatan anggota yang terpisah (yakni, di antara tiap muka dan anggota paling bawah, dan di antara anggota paling atas dan tiap titik sudut) memiliki struktur yang sama sebagai representasi poligon yang abstrak, maka himpunan urutan parsial ini memberikan informasi yang sama sebagia polihedron topologis.^{[butuh rujukan]} Akan tetapi, syarat-syarat tersebut sering kali direlaksasi, yang malahan hanya mensyaratkan bagian di antara dua tingkat elemen yang terpisah memiliki struktur yang sama sebagai representasi ruas garis yang abstrak.^[14] (Ini berarti bahwa setiap rusuk memiliki dua titik sudut dan merupakan milik dua muka, dan setiap titik sudut pada muka milik dua rusuk dari muka tersebut.) Polihedron geometris mendefinisikan dengan cara yang lain, yang dapat menjelaskan secara abstrak dengan cara tersebut, tetapi ada kemungkinan juga menggunakan polihedron abstrak sebagai basisi definisi polihedron geometris. Realisasi suatu polihedron abstrak umumnya dianggap pemetaan dari titik sudut polihedron abstrak ke titik geometris, seperti titk sudut dari tiap muka yang koplanar. Polihedron geometris kemudian dapat didefinisikan sebagai realisasi polihedron abstrak.^[15] Realisasi yang mengabaikan syarat keplanaran muka, yang memaksakan syarat simetri tambahan, atau yang memetakan titik sudut ke ruang berdimensi lebih tinggi juga termasuk.^[14] Tidak seperti definisi yang didasarkan pada bangun ruang dan permukaan, definisi ini bekerja sangat baik untuk star polyhedron. Akan tetapi, tanpa adanya syarat tambahan, definisi ini mencakup polihedron degenerasi (sebagai contoh, dengan memetakan semua titik sudut ke titik yang tunggal) dan mempertanyakan bagaimana cara memaksa realisasi untuk menghindari degenerai tersebut masih belum terselesaikan.

Dari semua definisi yang sudah disebutkan di atas, polihedron biasanya dipahami sebagai politop berdimensi tiga. Politop adalah bentuk geometri sebarang dimensi pada umumnya. Sebagai analogi, poligon memiliki bangunan berdimensi dua dan tidak punya muka, sedangkan politop berdimensi empat memiliki bangunan berdimensi empat dan memiliki kumpulan "cell" berdimensi tiga. Namun ada beberapa literatur mengenai geometri berdimensi tinggi menggunakan istilah "polihedron" untuk pengeritan lain, bukan politop berdimensi tiga, tetapi bentuknya berbeda dari politop. Sebagai contoh, ada beberapa sumber yang mendefinisikan polihedron cembung sebagai perpotong terhingga banyaknya setengah ruang, dan politop sebagai polihedron yang terbatas.^[16]^[17] Artikel ini hanya membahas polihedron berdimensi tiga saja.

Karakteristik umum

Polihedron dapat diklasifikasikan dan sering kali dinamai sesuai dengan jumlah mukanya. Didasarkan pada bahasa Yunani klasik, penamaan polihedron menggabungkan imbuhan awal yang mengartikan jumlah muka, ditambah dengan imbuhan akhir "hedron", yang berarti "duduk" dan mengacu pada muka. Sebagai contoh, tetrahedron adalah polihedron yang memiliki empat muka, pentahedron adalah polihedron memiliki lima muka, heksahedron adalah polihedron yang memiliki enam muka, dan seterusnya.^[18] Penamaan bahasa Indonesia juga dilakukan dengan serupa, seperti tetrahedron dapat diartikan sebagai "bidang empat", pentahedron sebagai "bidang lima", dan sebagainya.^[6] Nama-nama tetrahedron, heksahedron, oktahedron (polihedron dengan delapan muka), dodekahedron (polihedron dengan dua belas muka), dan ikosahedron (polihedron dengan dua puluh muka) kadangkala digunakan tanpa adanya kualifikasi yang mengacu pada bangun ruang Platonik, dan terkadang digunakan untuk mengacu pada polihedron yang lebih umum sesuai dengan jumlah mukanya tanpa mengasumsi bentuk simetrisnya.^[19]

Referensi

^ Lakatos, Imre (2015) [1976], Worrall, John; Zahar, Elie (ed.), Proofs and Refutations: The logic of mathematical discovery, Cambridge Philosophy Classics, Cambridge: Cambridge University Press, hlm. 16, doi:10.1017/CBO9781316286425, ISBN 978-1-107-53405-6, MR 3469698, definitions are frequently proposed and argued about.
^ Grünbaum, Branko (1994), "Polyhedra with hollow faces", dalam Bisztriczky, Tibor; McMullen, Peter; Schneider, Rolf; Weiss, A. (ed.), Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on Polytopes: Abstract, Convex and Computational, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., hlm. 43–70, doi:10.1007/978-94-011-0924-6_3, ISBN 978-94-010-4398-4, MR 1322057; for quote, see p. 43.
^ Loeb, Arthur L. (2013), "Polyhedra: Surfaces or solids?", dalam Senechal, Marjorie (ed.), Shaping Space: Exploring Polyhedra in Nature, Art, and the Geometrical Imagination (Edisi 2nd), Springer, hlm. 65–75, doi:10.1007/978-0-387-92714-5_5, ISBN 978-0-387-92713-8
^ McCormack, Joseph P. (1931), Solid Geometry, D. Appleton-Century Company, hlm. 416.
^ de Berg, M.; van Kreveld, M.; Overmars, M.; Schwarzkopf, O. (2000), Computational Geometry: Algorithms and Applications (Edisi 2nd), Springer, hlm. 64.
^ ^a ^b Fitriyani, Harina; Hendroanto, Aan; Rostien; Anggoro, Puput (2021-04-01). Geometri Ruang. UAD PRESS. hlm. 39–40. ISBN 978-623-6071-44-1. Pemeliharaan CS1: Status URL (link)
^ Pamungkas, M. D.; Rahmawati, Fadhilah; Waluya, Budi; Mariani, Scolastika (2022). Geometri Ruang Berbasis STEM. hlm. 57. ISBN 978-623-432-097-8.
^ Matveev, S.V. (2001) [1994], "Polyhedron, abstract", dalam Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
^ Stewart, B. M. (1980), Adventures Among the Toroids: A study of orientable polyhedra with regular faces (Edisi 2nd), hlm. 6.
^ ^a ^b Cromwell, Peter R. (1997), Polyhedra, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55432-9, MR 1458063; for definitions of polyhedra, see pp. 206–209; for polyhedra with equal regular faces, see p. 86.
^ O'Rourke, Joseph (1993), "Computational Geometry in C" (PDF), Computers in Physics, 9 (1): 113–116, Bibcode:1995ComPh...9...55O, doi:10.1063/1.4823371.
^ Grünbaum, Branko (1999), "Acoptic polyhedra" (PDF), Advances in discrete and computational geometry (South Hadley, MA, 1996), Contemporary Mathematics, vol. 223, Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, hlm. 163–199, doi:10.1090/conm/223/03137, ISBN 978-0-8218-0674-6, MR 1661382, diarsipkan dari asli (PDF) tanggal 2021-08-30, diakses tanggal 2022-07-01.
^ Bokowski, J.; Guedes de Oliveira, A. (2000), "On the generation of oriented matroids", Discrete and Computational Geometry, 24 (2–3): 197–208, doi:10.1007/s004540010027, MR 1756651.
^ ^a ^b Burgiel, H.; Stanton, D. (2000), "Realizations of regular abstract polyhedra of types {3,6} and {6,3}", Discrete and Computational Geometry, 24 (2–3): 241–255, doi:10.1007/s004540010030, MR 1758047.
^ Grünbaum, Branko (2003), "Are your polyhedra the same as my polyhedra?" (PDF), dalam Aronov, Boris; Basu, Saugata; Pach, János; Sharir, Micha (ed.), Discrete and Computational Geometry: The Goodman–Pollack Festschrift, Algorithms and Combinatorics, vol. 25, Berlin: Springer, hlm. 461–488, CiteSeerX 10.1.1.102.755, doi:10.1007/978-3-642-55566-4_21, ISBN 978-3-642-62442-1, MR 2038487
^ Grünbaum, Branko (2003), Convex Polytopes, Graduate Texts in Mathematics, vol. 221 (Edisi 2nd), New York: Springer-Verlag, hlm. 26, doi:10.1007/978-1-4613-0019-9, ISBN 978-0-387-00424-2, MR 1976856.
^ Bruns, Winfried; Gubeladze, Joseph (2009), "Definition 1.1", Polytopes, Rings, and K-theory, Springer Monographs in Mathematics, Dordrecht: Springer, hlm. 5, CiteSeerX 10.1.1.693.2630, doi:10.1007/b105283, ISBN 978-0-387-76355-2, MR 2508056.
^ Peirce, Charles S. (1976), Eisele, Carolyn (ed.), The New Elements of Mathematics, Volume II: Algebra and Geometry, Mouton Publishers & Humanities Press, hlm. 297, ISBN 9783110818840
^ O'Keefe, Michael; Hyde, Bruce G. (2020) [1996], Crystal Structures: Patterns and Symmetry, Dover Publications, hlm. 134, ISBN 9780486836546