Kokernel

Dalam matematika, kokernel pada pemetaan linear dari ruang vektor f : X → Y adalah ruang hasil bagi Y / im(f) dari kodomain dari f dengan gambar f . Dimensi dari kokernel disebut corank dari f .

Kokernel ganda ke kernel teori kategori, maka namanya: kernel adalah subobjek dari domain (memetakan ke domain), sedangkan cokernel adalah objek hasil bagi dari kodomain (dipetakan dari kodomain).

Secara intuitif, diberi persamaan f(x) = y yang ingin dipecahkan, cokernel mengukur batasan yang harus dipenuhi oleh y agar persamaan ini memiliki solusi sebagai penghalang solusi, sementara kernel mengukur derajat kebebasan dalam solusi, jika ada. Ini diuraikan dalam intuisi, di bawah.

Definisi formal

Seseorang dapat mendefinisikan cokernel dalam kerangka umum teori kategori. Agar definisi masuk akal, kategori yang dipermasalahkan harus memiliki morfisme nol. Kokernel dari sebuah morphism f : X → Y didefinisikan sebagai penggabung dari f dan morfisme nol 0_XY : X → Y.

Secara eksplisit, ini berarti sebagai berikut. Cokernel dari f : X → Y adalah objek Q bersama dengan morfisme q : Y → Q seperti diagram

komutatif. Selain itu, morfisme q harus universal untuk diagram ini, yaitu q′: Y → Q′ dapat diperoleh dengan menyusun q dengan morfisme yang unik u : Q → Q′:

Seperti semua konstruksi universal, cokernel, jika ada, adalah hingga unik isomorfisme, atau lebih tepatnya: if q : Y → Q and q' : Y → Q' adalah dua kokernel dari f : X → Y, lalu ada isomorfisme yang unik u : Q → Q' dengan q = u q.

Seperti semua pengimbang, kokernel q : Y → Q tentu saja merupakan epimorfisme. Sebaliknya, epimorfisme disebut normal (atau conormal ) jika itu adalah cokernel dari beberapa morfisme. Sebuah kategori disebut konormal jika setiap epimorfisme normal (misalnya kategori grup normal).

Intuisi

Cokernel dapat dianggap sebagai ruang batasan yang harus dipenuhi oleh persamaan, sebagai ruang penghalang, seperti kernel adalah ruang solusi .

Secara formal, seseorang dapat menghubungkan kernel dan cokernel dari sebuah peta T: V → W oleh urutan persis

0\to \ker T\to V{\overset {T}{\longrightarrow }}W\to \operatorname {koker} T\to 0.

Ini dapat diartikan sebagai: diberi persamaan linear $T (v) = w$ menyelesaikan,

kernel adalah ruang dari solusi persamaan homogen $T (v) = 0$ , dan dimensinya adalah jumlah derajat kebebasan dalam suatu solusi, jika ada;
Kokernel adalah ruang kendala yang harus dipenuhi jika persamaan tersebut memiliki solusi, dan dimensinya adalah jumlah kendala yang harus dipenuhi agar persamaan memiliki solusi.

Dimensi cokernel ditambah dengan dimensi gambar (peringkat) ditambahkan ke dimensi ruang target, sebagai dimensi ruang hasil bagi $W/T(V)$ hanyalah dimensi ruang minus dimensi gambar.