Diferensial total

Diferensial total suatu fungsi dapat berarti gradien dari fungsi tersebut, yang merupakan jumlah dari semua diferensial parsial terhadap semua variabel independen.

Mengikuti (Goursat 1904, I, §15), untuk fungsi-fungsi dengan lebih dari satu variabel independen,^[1]

${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),\,}$

diferensial parsial y terhadap setiap variabel x₁ merupakan bagian utama perubahan y yang dihasilkan dari suatu perubahan dx₁ dalam variabel tunggal tersebut. Maka, diferensial parsial adalah

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}}$

melibatkan derivatif parsial y terhadap  x₁. Jumlah semua diferensial parsial itu terhadap semua variabel independen itulah yang merupakan diferensial total

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n},}$

yang merupakan bagian utama perubahan dalam y sebagai hasil perubahan-perubahan dalam variabel independen x_i.

Lebih tepatnya, dalam konteks kalkulus multivariabel, mengikuti (Courant 1937ii), jika f adalah sebuah fungsi yang dapat didiferensiasi, maka menurut definisi dapatnya suatu fungsi itu didiferensiasi, inkremen

${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta y&{}{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{aligned}}}$

di mana elemen kesalahan (error term) ε _i mendekati nol karena inkremen Δx_i bergabung bersama mendekati nol. Jadi, diferensial total dapat secara ketat didefinisikan sebagai

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}.}$

• Diferensial
• Diferensial parsial
• Persamaan diferensial

• Courant, Richard (1937i), Differential and integral calculus. Vol. I, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (dipublikasikan 1988), ISBN 978-0-471-60842-4, MR 1009558 .
• Courant, Richard (1937ii), Differential and integral calculus. Vol. II, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons (dipublikasikan 1988), ISBN 978-0-471-60840-0, MR 1009559 Pemeliharaan CS1: Tahun (link).
• Courant, Richard; John, Fritz (1999), Introduction to Calculus and Analysis Volume 1, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 3-540-65058-X, MR 1746554
• Eisenbud, David; Harris, Joe (1998), The Geometry of Schemes, Springer-Verlag, ISBN 0-387-98637-5.
• Fréchet, Maurice (1925), "La notion de différentielle dans l'analyse générale", Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Troisième Série, 42: 293–323, ISSN 0012-9593, MR 1509268.