Bilangan prima Pythagoras

Bilangan prima Pythagoras adalah bilangan prima dengan bentuk ${\displaystyle 4n+1}$. Bilangan prima Pythagoras tepatnya merupakan bilangan prima ganjil yang dihasilkan sebagai penjumlahan dari bilangan yang dikuadrat. Karakterisasi ini merupakan teorema Fermat mengenai penjumlahan dua bilangan kuadrat.

Secara ekuivalen, berdasarkan teorema Pythagoras, bilangan-bilangan tersebut adalah bilangan prima ganjil ${\displaystyle p}$ karena ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ merepresentasikan panjang sisi miring suatu segitiga siku-siku yang sisinya bilangan bulat, serta ${\displaystyle p}$ itu sendiri adalah sisi miring segitiga Pythagoras primitif. Sebagai contoh, bilangan 5 adalah bilangan prima Pythagoras, ${\displaystyle {\sqrt {5}}}$ adalah sisi miring segitiga siku-siku yang sisinya 1 dan 2, dan 5 sendiri adalah sisi miring segitiga siku-siku yang sisinya 3 dan 4.

Beberapa bilangan prima Pythagoras pertama adalah sebagai berikut:

Menurut teorema Dirichlet mengenai barisan aritmetika, barisan tersebut tak terhingga. Pernyataan tersebut dapat diperkuat lebih lanjut sebagai berikut: untuk tiap ${\displaystyle n}$, jumlah bilangan prima Pythagoras dan non-Pythagoras sampai ${\displaystyle n}$ kira-kira sama. Namun, jumlah bilangan prima Pythagoras hingga ${\displaystyle n}$ sering kali agak lebih kecil daripada jumlah bilangan prima non-Pythagoras. Fenomena tersebut dikenal sebagai bias Chebyshev.^[1] Sebagai contoh, satu-satunya nilai dari ${\displaystyle n}$ hingga mencapai 600.000 karena terdapat lebih banyak bilangan prima ganjil Pythagoras daripada bilangan prima non-Pythagoras yang kurang dari atau sama dengan ${\displaystyle n}$ adalah 26861 dan 26862.^[2]

Penjumlahan dari suatu bilangan ganjil kuadrat dan suatu bilangan genap kuadrat kongruen dengan 1 mod 4. Namun terdapat bilangan komposit seperti 21 yang kongruen dengan 1 mod 4, tetapi tidak dapat direpresentasikan ke dalam penjumlahan dua bilangan kuadrat. Menurut teorema Fermat mengenai penjumlahan dua bilangan kuadrat, bilangan prima yang dapat direpresentasikan sebagai penjumlahan dua bilangan kuadrat tepatnya adalah 2 dan bilangan prima kongruen ganjil yang kongruen dengan 1 mod 4.^[3] Representasi tiap-tiap bilangan tersebut adalah tunggal, hingga mencapai pengurutan dua bilangan kuadrat.^[4]

Dengan menggunakan teorema Pythagoras, representasi tersebut dapat diinterpretasi secara geometri. Artinya, bilangan prima Pythagoras tepatnya bilangan prima ganjil ${\displaystyle p}$ sehingga terdapat suatu segitiga siku-siku yang sisinya bilangan bulat dan sisi miringnya ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$. Bilangan prima Pythagoras juga tepatnya bilangan prima ${\displaystyle p}$ sehingga terdapat suatu segitiga siku-siku yang sisinya bilangan bulat dan sisi miringnya ${\displaystyle p}$. Apabila sisi segitiganya ${\displaystyle x}$ dan ${\displaystyle y}$ memiliki sisi miring ${\displaystyle {\sqrt {p}}}$ (dengan ${\displaystyle x>y}$), maka segitiga yang sisinya ${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$ dan ${\displaystyle 2xy}$ memiliki sisi miring ${\displaystyle p}$.^[5]

Adapun cara lain memahami representasi ini sebagai penjumlahan dua bilangan kuadrat, yaitu melibatkan bilangan bulat Gauss, bilangan kompleks yang bagian real dan imajinernya sama-sama bilangan bulat.^[6] Norma bilangan bulat Gauss ${\displaystyle x+iy}$ adalah bilangan ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$. Karena itu, bilangan prima Pythagoras (dan 2) hadir sebagai norma bilangan bulat Gauss, sedangkan bilangan prima lainnya tidak. Di dalam bilangan bulat Gauss, bilangan prima Pythagoras tidak dianggap sebagai bilangan prima, karena dapat difaktorkan sebagai$${\displaystyle p=(x+iy)(x-iy).}$$ Dengan cara yang serupa, bilangan kuadratnya dapat difaktorkan dengan cara yang berbeda daripada faktorisasi bilangan bulatnya sebagai $${\displaystyle {\begin{aligned}p^{2}&=(x+iy)^{2}(x-iy)^{2}\\&=(x^{2}-y^{2}+2ixy)(x^{2}-y^{2}-2ixy).\\\end{aligned}}}$$Bilangan real dan imajiner faktor dalam faktorisasi tersebut adalah panjang sisi dari segitiga siku-siku yang memiliki sisi miring yang diketahui.

Hukum timbal balik kuadrat menyatakan bahwa apabila ${\displaystyle p}$ dan ${\displaystyle q}$ adalah bilangan prima ganjil yang berbeda, setidaknya salah satu dari mereka adalah bilangan prima Pythagoras, maka ${\displaystyle p}$ adalah residu kuadrat mod ${\displaystyle q}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle q}$ adalah residu kuadrat mod ${\displaystyle p}$. Sebaliknya, jika tidak ada satupun ${\displaystyle p}$ atau ${\displaystyle q}$ adalah bilangan prima Pythagoras, maka ${\displaystyle p}$ residu kuadrat mod ${\displaystyle q}$ jika dan hanya jika ${\displaystyle q}$ bukan residu kuadrat mod ${\displaystyle p}$.^[4]

Dalam medan terhingga ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ dengan ${\displaystyle p}$ adalah bilangan prima Pythagoras, persamaan polinomial ${\displaystyle x^{2}=-1}$ memiliki dua solusi. Ini dapat dinyatakan dengan mengatakan bahwa ${\displaystyle -1}$ adalah residu kuadrat mod ${\displaystyle p}$. Namun persamaan tersebut sebaliknya tidak memiliki solusi dalam medan terhingga ${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$ dengan ${\displaystyle p}$ adalah bilangan prima ganjil tapi bukan bilangan prima Pythagoras.^[4]

Untuk setiap bilangan prima Pythagoras ${\displaystyle p}$, terdapat graf Paley dengan ${\displaystyle p}$ titik, yang merepresentasikan bilangan modulo ${\displaystyle p}$, dengan dua bilangan yang bertetangga dalam graf jika dan hanya jika selisihnya adalah residu kuadrat. Definisi ini menghasilkan relasi tetangga yang sama, tidak peduli bagaimana urutannya yang kedua bilangannya dikurangi untuk menghitung selisihnya, karena sifat bilangan prima Pythagoras bahwa ${\displaystyle -1}$ adalah residu kuadrat.^[7]