在数学中,闵可夫斯基不等式(Minkowski inequality)表明Lp空间是一个赋范向量空间。设 S {\displaystyle S} 是一个测度空间, 1 ≤ ≤ --> p ≤ ≤ --> ∞ ∞ --> , f , g ∈ ∈ --> L p ( S ) {\displaystyle 1\leq p\leq \infty ,f,g\in L^{p}(S)} ,那么 f + g ∈ ∈ --> L p ( S ) {\displaystyle f+g\in L^{p}(S)} ,我们有:
如果 1 < p < ∞ ∞ --> {\displaystyle 1<p<\infty } ,等号成立当且仅当 ∃ ∃ --> k ≥ ≥ --> 0 , f = k g {\displaystyle \exists k\geq 0,f=kg} ,或者 g = k f {\displaystyle g=kf} .
闵可夫斯基不等式是 L p ( S ) {\displaystyle L^{p}(S)} 中的三角不等式。它可以用赫尔德不等式来证明。和赫尔德不等式一样,闵可夫斯基不等式取可数测度可以写成序列或向量的特殊形式:
将所有实数 x 1 , ⋯ ⋯ --> , x n , y 1 , ⋯ ⋯ --> , y n {\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1}\,,\ \cdots ,y_{n}} ( n {\displaystyle n} 为 S {\displaystyle S} 的维数)改成复数同样成立。
值得指出的是,如果 x 1 , ⋯ ⋯ --> , x n , y 1 , ⋯ ⋯ --> , y n > 0 {\displaystyle x_{1},\cdots ,x_{n},y_{1},\cdots ,y_{n}>0} , p < 1 {\displaystyle p<1} ,则 ≤ ≤ --> {\displaystyle \leq } 可以变为 ≥ ≥ --> {\displaystyle \geq } .
我们考虑 ‖ ‖ --> f + g ‖ ‖ --> p {\displaystyle \|f+g\|_{p}} 的 p {\displaystyle p} 次幂:
( ∫ ∫ --> a b | f ( x ) + g ( x ) | p d x ) 1 p ⋅ ⋅ --> p = ∫ ∫ --> a b | f ( x ) + g ( x ) | | f ( x ) + g ( x ) | p − − --> 1 d x {\displaystyle \left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{{\frac {1}{p}}\cdot p}=\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx}
(用三角形不等式展开 | f ( x ) + g ( x ) | {\displaystyle |f(x)+g(x)|} )
≤ ≤ --> ∫ ∫ --> a b | f ( x ) | | f ( x ) + g ( x ) | p − − --> 1 d x + ∫ ∫ --> a b | g ( x ) | | f ( x ) + g ( x ) | p − − --> 1 d x {\displaystyle \leq \int _{a}^{b}|f(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx+\int _{a}^{b}|g(x)||f(x)+g(x)|^{p-1}dx}
(用赫尔德不等式)
≤ ≤ --> ( ∫ ∫ --> a b | f ( x ) | p d x ) 1 p ( ∫ ∫ --> a b | f ( x ) + g ( x ) | q ( p − − --> 1 ) d x ) 1 q + ( ∫ ∫ --> a b | g ( x ) | p d x ) 1 p ( ∫ ∫ --> a b | f ( x ) + g ( x ) | q ( p − − --> 1 ) d x ) 1 q {\displaystyle \leq \left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{q\left(p-1\right)}dx\right)^{\frac {1}{q}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{q\left(p-1\right)}dx\right)^{\frac {1}{q}}}
= [ ( ∫ ∫ --> a b | f ( x ) | p d x ) 1 p + ( ∫ ∫ --> a b | g ( x ) | p d x ) 1 p ] ( ∫ ∫ --> a b | f ( x ) + g ( x ) | q p − − --> q d x ) 1 q {\displaystyle =\left[\left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\right]\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{qp-q}dx\right)^{\frac {1}{q}}}
(利用 p = q p − − --> q {\displaystyle p=qp-q} ,因为 1 p + 1 q = 1 {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1} )
= [ ( ∫ ∫ --> a b | f ( x ) | p d x ) 1 p + ( ∫ ∫ --> a b | g ( x ) | p d x ) 1 p ] ( ∫ ∫ --> a b | f ( x ) + g ( x ) | p d x ) 1 q {\displaystyle =\left[\left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\right]\left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{q}}}
现在我们考虑这个不等式序列的首尾两项。首项除以尾项的最后一个因子,即得
( ∫ ∫ --> a b | f ( x ) + g ( x ) | p d x ) 1 p ≤ ≤ --> ( ∫ ∫ --> a b | f ( x ) | p d x ) 1 p + ( ∫ ∫ --> a b | g ( x ) | p d x ) 1 p {\displaystyle \left(\int _{a}^{b}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}\leq \left(\int _{a}^{b}|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}+\left(\int _{a}^{b}|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}}}
这正是我们所要的结论。
对于序列的情形,证明是完全类似的。
|accessdate=
|url=
Lokasi Pengunjung: 18.117.9.85