量子成像演示 量子成像 （英語：Quantum Imaging ，QI），又称鬼成像 （英語：Ghost Imaging ，GI）[ 1] 关联成像 （英語：Correlated imaging ，CI）[ 2] [ 3] HB-T实验 。继纠缠光量子成像实验之后，陆续有研究者提出了经典光量子成像、无透镜量子成像、计算量子成像、差分量子成像等技术。量子成像技术在光刻、激光雷达、生物组织造影[ 4] [ 5]
强度干涉仪的抽象示意图 自发参量下转换示意图 20世纪50年代，汉伯里·布朗 R. Hanbury Brown ）与特威斯 R. Q. Twiss ）进行了HB-T实验 ，其主要内容是设计了一种干涉仪 以解决在基线 射电星 角直径 的测量问题。这种干涉仪在射电天文学 中又被称为强度干涉仪 半镀银镜 分为两束，分别照射两个光电倍增管 的阴极，两管的输出电流经过放大以后在线性混频器 中相乘，如此持续运行大约一小时以获得可观测的结果。因此其在形态上类似迈克耳孙干涉仪 ，但不同点在于，迈克耳孙干涉仪是在检测之前混合两路信号，并且信号在混合之前始终拥有相位 信息。这种干涉仪则不然，进行混合的只是两路信号的强度 ，相位信息在经过光电倍增管之后已经被抹去了。但即便如此，两路信号仍然表现出相干性 ，这意味着光场的相干性不仅在相位上体现出来，甚至仅仅在强度上也可以体现[ 6] 量子力学 中一些基本概念进行重大修订”。汉伯里·布朗和特威斯进行了理论推导，并尝试了对天狼星A 的观测，最终验证了实验结果的合理性。这个实验将光子符合探测引入光学实验，使得人们认识到光的二阶干涉效应 会造成光场的强度关联（相关性）[ 7]
1970年，美国国家宇航局 电子研究中心的大卫·伯纳姆（英語：David Burnham ）与唐纳德·温伯格（英語：Donald Weinberg ）在光子计数实验中使用了名叫“自发参量下转换 ”的非线性光学技术[ 8] 磷酸二氢铵 （ADP）晶体，测得入射光子转化为相位匹配（入射光子动量和能量等于两出射光子动量和与能量和）的双光子的概率最大[ 9] [ 8] 苏联 学者大卫·尼古拉耶维奇 爱因斯坦-波多尔斯基-罗森实验 ，并证明互补原理 的方法，其中设计的一种装置实际上可以作为量子成像设备使用。这种装置进行符合检测的方法是，用两路探测器中的一路是否收到光子，来控制另一路探测的开闭[ 10] [ 11]
史砚华小组的量子成像装置 装置沿光路展开 1994年，大卫·尼古拉耶维奇在一篇尝试同时使用经典表述和量子表述解释光的量子性质 的论文中，从量子力学 的角度阐释了双光子非定域成像的理论基础[ 3] 美国 马里兰大学 的史砚华小组以纠缠双光子作为光源，结合符合测量技术 氩离子激光器 泵浦源 简并II型相位匹配角
β β -->
− − -->
BaB
2
O
4
{\displaystyle {\ce {\beta-BaB2O4}}}
偏硼酸钡 ，BBO）晶体，出射两路正交偏振信号。分别将从BBO晶体的e-射线平面和o-射线平面出射的光束称为信号光和闲置光，这两路光的波长 均为702.2nm，即泵浦光波长的二倍。混合有未经自发参量下转换的原泵浦光、信号光和闲置光的混合光束经过紫外 级熔融石英 色散棱镜 偏振分束器 的汤普森棱镜 将信号光和闲置光分开。信号光束照射焦距为400mm的成像凸透镜 ，透过的光束经过一个简并波长为702.2nm、带宽为83nm的滤光片 ，再照射在物体（写有“UMBC ”字样的光圈 ）上。经过物体之后，信号光束再通过一个焦距为25mm的收集凸透镜，到达一个直径为0.8mm的干冰冷却雪崩光电二极管 D1，这个雪崩光电二极管恰位于收集透镜的焦点上。闲置光束经过另一个同样的滤光片，不经过物体，直接照射在由0.5mm多模光纤 尖端上，再到达另一个干冰冷却雪崩二极管D2。两个正交 的编码驱动检测器在垂直于光束方向的平面上进行扫描，并将检测器的输出脉冲 发送到接收窗口为1.8ns的符合计数器 焦距 为f，当三者满足关系式
1
S
+
1
S
′
=
1
f
{\displaystyle {\frac {1}{S}}+{\frac {1}{S'}}={\frac {1}{f}}}
[ 12] 分辨率 ，D2所在的闲置光（参考光）光路中没有待成像物体，所以两者都不能单独完成物体成像；但处于无物体参考光路的D2探测器经过逐点扫描再与D1结果关联之后得到了物体的像，使得量子成像又被称为“鬼”成像[ 13]
1997年，索托·里贝罗（英語：P. H. Souto Ribeiro ）小组发现，当自发参量下转换 晶体足够薄（在泵浦光传播方向上足够短）时，泵浦光束的角频谱 光学器件 的情况下，也可以控制符合检测入射光束的横向特性，而不对强度 产生影响[ 14]
史砚华小组实验验证量子成像之后，经典光是否能实现量子成像在学术界产生了争议。2001年，波士顿大学 的艾曼·阿布瓦迪（英語：Ayman F. Abouraddy ）小组分别用经典光和纠缠光进行了量子成像实验，之后发表评论称，纠缠光可以成部分相干 像或者甚至完全相干像，经典光只能成非相干像；量子成像是纠缠光 的特性，其他双光子源并不能模仿[ 15] 罗切斯特大学 的瑞安·本宁克（英語：Ryan S. Bennink ）团队就使用随机扫描激光光源证明了了经典光源也可以进行量子成像。Bennink 团队对连续激光束进行斩波 ，通过随机旋转反射镜 产生不同方向的偏转光，再通过分束器 来产生经典光源；用桶探测器 CCD 拍摄参考光记录下的帧 ，即用桶探测器门控 CCD。实验结果是，未门控时CCD无法拍摄到图案，经过门控之后CCD可以拍摄到测试图案。这证明了，尽管经典光源没有纠缠光源所特有的一些全局性质，但具有一定相关性的经典光源仍然可以通过符合计数产生量子成像现象[ 16]
2004年，意大利 的路易吉·卢吉亚托 热光源 的量子成像理论方案。在这种方案中，来自热光源的光束被分束器分为两束，后续处理与纠缠光源成像相同，小组通过类比纠缠光源和热光源的成像过程，推断可以使用纯粹的非相干光源 （热光源）实现量子成像[ 2] 氦氖激光器 产生的激光入射旋转毛玻璃 赝热光源 为光源，发现了非纠缠光源的双光子成像高斯薄透镜方程，实现了量子成像[ 17] 中科院 物理所的吴令安小组实现了真热光的双光子二阶关联[ 18] 空心阴极灯 铷灯 ）实现了真热光源量子成像[ 19]
尽管已经证明无论经典光源还是纠缠光源都可以进行量子成像，但费里（F. Ferri ）小组于2005年发表文章称，成像的分辨率具有一个上限，这个上限只有使用纠缠光源可以达到。这证明，纠缠光源相对经典光源量子成像，具有信息可见性和分辨率更高的优势，这种优势在高精度测量和量子通信 领域都有应用[ 1] 分辨率 会更低，背景噪声 [ 18]
2008年，美国麻省理工学院 教授杰弗里·夏皮罗 高斯态光模型理论 对量子成像原理进行了统一的解释[ 20]
2004年，韩申生和程静提出可以通过适当选择成像几何形状，用非相干光源实现无透镜傅里叶变换 成像。这为非可见光量子成像，如X射线 衍射 成像，提供了理论上的可行性[ 21] 伽马射线 和其他波长光源的成像应用帮助很大[ 22]
传统量子成像与计算量子成像对比示意图 夏皮罗也提出了计算量子成像的理论。与传统量子成像不同，计算量子成像方案仅保留了包含待成像物体的测量光路和桶探测器，通过激光 照射空间光调制器 强度 、相位 等参数的空间调制光场（又称为主动式光源），再根据衍射理论 计算得到原参考光路在无透镜量子成像中可以得到的特定位置的光强分布，与测量光场进行符合关联得到图像。这种方案所用的装置可以生成没有背景噪声 分辨率 和成像区域可以通过调整空间光调制器的参数来控制[ 23] [ 24]
2010年，意大利学者路易吉·卢贾托 Differential Ghost Imaging ，DGI）的方案，该方案提高了量子成像信噪比 的数量级，大幅提高了量子成像的成像质量，在一些强干扰和背景噪声较大的环境下表现较为良好[ 25] [ 26] 对应成像 Correspondence Imaging ，CI）的技术，可概述为选择桶探测器在正向或负向的强度波动（正信号与负信号），对对应的参考光路所得的数据进行条件平均，而不是用桶探测器获得的光强与参考光路所得数据直接相乘[ 27] [ 26]
量子成像原理示意图 量子成像两路探测器输出和最终所成物像示意图 以下尝试分析史砚华小组1995年所做的纠缠光源量子成像实验，简述量子成像的原理。
自发参量下转换 过程之后，泵浦 光子分裂成为一对信号光子-闲置光子，其能量满足
ω ω -->
s
=
ω ω -->
i
=
ω ω -->
p
/
2
{\displaystyle \omega _{s}=\omega _{i}=\omega _{p}/2}
ω ω -->
s
{\displaystyle \omega _{s}}
能量 ，
ω ω -->
i
{\displaystyle \omega _{i}}
ω ω -->
p
{\displaystyle \omega _{p}}
≅ ≅ -->
{\displaystyle \cong }
双光子的横向位矢 和动量 EPR
δ δ -->
{\displaystyle \delta }
δ δ -->
(
ρ ρ -->
s
→ → -->
− − -->
ρ ρ -->
i
→ → -->
)
{\displaystyle \delta ({\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{i}}})}
δ δ -->
(
k
s
→ → -->
+
k
i
→ → -->
)
{\displaystyle \delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})}
ρ ρ -->
s
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{s}}}}
ρ ρ -->
i
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{i}}}}
k
s
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {k_{s}}}}
k
i
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {k_{i}}}}
虽然光子 可能从非线性晶体
δ δ -->
(
ρ ρ -->
s
→ → -->
− − -->
ρ ρ -->
i
→ → -->
)
{\displaystyle \delta ({\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{i}}})}
δ δ -->
(
k
s
→ → -->
+
k
i
→ → -->
)
{\displaystyle \delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})}
k
s
→ → -->
=
− − -->
k
i
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {k_{s}}}=-{\overrightarrow {k_{i}}}}
定义
G
(
2
)
(
ρ ρ -->
o
→ → -->
,
ρ ρ -->
i
→ → -->
)
{\displaystyle G^{(2)}({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{i}}})}
ρ ρ -->
o
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{o}}}}
ρ ρ -->
i
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{i}}}}
δ δ -->
{\displaystyle \delta }
ρ ρ -->
o
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{o}}}}
δ δ -->
(
ρ ρ -->
s
→ → -->
− − -->
ρ ρ -->
i
→ → -->
/
m
)
{\displaystyle \delta ({\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{i}}}/m)}
m
=
− − -->
s
i
s
o
{\displaystyle m=-{\frac {s_{i}}{s_{o}}}}
放大倍数 ，其中
s
o
{\displaystyle s_{o}}
透镜 的光学距离 ，
s
i
{\displaystyle s_{i}}
确定
δ δ -->
{\displaystyle \delta }
A
(
ρ ρ -->
o
→ → -->
)
{\displaystyle A({\overrightarrow {\rho _{o}}})}
A
(
ρ ρ -->
i
→ → -->
/
m
)
{\displaystyle A({\overrightarrow {\rho _{i}}}/m)}
(
r
1
,
t
1
)
{\displaystyle (r_{1},t_{1})}
(
r
2
,
t
2
)
{\displaystyle (r_{2},t_{2})}
振幅 叠加的结果。
建立格林函数
g
(
k
s
→ → -->
,
ω ω -->
s
,
ρ ρ -->
o
→ → -->
,
z
o
)
{\displaystyle g({\overrightarrow {k_{s}}},\omega _{s},{\overrightarrow {\rho _{o}}},z_{o})}
g
(
k
i
→ → -->
,
ω ω -->
i
,
ρ ρ -->
2
→ → -->
,
z
2
)
{\displaystyle g({\overrightarrow {k_{i}}},\omega _{i},{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2})}
[ 28]
在信号光路，信号光在从源输出到成像透镜的
d
1
{\displaystyle d_{1}}
s
o
{\displaystyle s_{o}}
D
1
{\displaystyle D_{1}}
光学传递函数
g
(
k
s
→ → -->
,
ω ω -->
s
;
ρ ρ -->
o
→ → -->
,
z
o
=
d
1
+
s
o
)
=
e
i
ω ω -->
s
c
z
o
× × -->
∫ ∫ -->
l
e
n
s
d
ρ ρ -->
l
→ → -->
∫ ∫ -->
s
o
u
r
c
e
d
ρ ρ -->
s
→ → -->
{
− − -->
i
ω ω -->
s
2
π π -->
c
d
1
e
i
k
s
→ → -->
⋅ ⋅ -->
ρ ρ -->
s
→ → -->
e
i
ω ω -->
s
2
c
d
1
|
ρ ρ -->
s
→ → -->
− − -->
ρ ρ -->
l
→ → -->
|
2
}
× × -->
e
− − -->
i
ω ω -->
2
c
f
|
ρ ρ -->
l
→ → -->
|
2
{
− − -->
i
ω ω -->
s
2
π π -->
c
s
o
e
i
ω ω -->
s
2
c
s
o
|
ρ ρ -->
l
→ → -->
− − -->
ρ ρ -->
o
→ → -->
|
2
}
{\displaystyle g({\overrightarrow {k_{s}}},\omega _{s};{\overrightarrow {\rho _{o}}},z_{o}=d_{1}+s_{o})=e^{i{\frac {\omega _{s}}{c}}z_{o}}\times \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}\int _{source}d{\overrightarrow {\rho _{s}}}\{{\frac {-i\omega _{s}}{2\pi cd_{1}}}e^{i{\overrightarrow {k_{s}}}\cdot {\overrightarrow {\rho _{s}}}}e^{i{\frac {\omega _{s}}{2cd_{1}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}\}\times e^{-i{\frac {\omega }{2cf}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}\{{\frac {-i\omega _{s}}{2\pi cs_{o}}}e^{i{\frac {\omega _{s}}{2cs_{o}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}-{\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert ^{2}}\}}
ρ ρ -->
s
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{s}}}}
ρ ρ -->
l
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{l}}}}
e
i
ω ω -->
s
2
c
d
1
|
ρ ρ -->
s
→ → -->
− − -->
ρ ρ -->
l
→ → -->
|
2
{\displaystyle e^{i{\frac {\omega _{s}}{2cd_{1}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}}
e
i
ω ω -->
s
2
c
s
o
|
ρ ρ -->
l
→ → -->
− − -->
ρ ρ -->
o
→ → -->
|
2
{\displaystyle e^{i{\frac {\omega _{s}}{2cs_{o}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}-{\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert ^{2}}}
菲涅尔相位 。把成像透镜视为薄透镜 ，则其变换函数近似为一个高斯函数
l
(
|
ρ ρ -->
l
→ → -->
|
,
f
)
≅ ≅ -->
e
− − -->
i
ω ω -->
2
c
f
|
ρ ρ -->
l
→ → -->
|
2
{\displaystyle l(\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ,f)\cong e^{-i{\frac {\omega }{2cf}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}}
[ 28]
在闲置光路，闲置光从源输出到成像透镜，整个
d
2
{\displaystyle d_{2}}
自由传播
g
(
k
i
→ → -->
,
ω ω -->
i
;
ρ ρ -->
2
→ → -->
,
z
2
=
d
2
)
=
− − -->
i
ω ω -->
i
2
π π -->
c
d
2
e
i
ω ω -->
i
c
d
2
∫ ∫ -->
s
o
u
r
c
e
d
ρ ρ -->
s
′
→ → -->
e
i
ω ω -->
i
2
c
d
2
|
ρ ρ -->
s
′
→ → -->
− − -->
ρ ρ -->
2
→ → -->
|
2
e
i
k
i
→ → -->
⋅ ⋅ -->
ρ ρ -->
s
′
→ → -->
{\displaystyle g({\overrightarrow {k_{i}}},\omega _{i};{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2}=d_{2})={\frac {-i\omega _{i}}{2\pi cd_{2}}}e^{i{\frac {\omega _{i}}{c}}d_{2}}\int _{source}d{\overrightarrow {\rho '_{s}}}e^{i{\frac {\omega _{i}}{2cd_{2}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho '_{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{2}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\overrightarrow {k_{i}}}\cdot {\overrightarrow {\rho '_{s}}}}}
ρ ρ -->
s
′
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {\rho '_{s}}}}
ρ ρ -->
2
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{2}}}}
δ δ -->
{\displaystyle \delta }
[ 28]
为简化计算，假设
ω ω -->
s
=
ω ω -->
i
=
ω ω -->
{\displaystyle \omega _{s}=\omega _{i}=\omega }
SPDC 双光子共线，忽略所有比例常数（因此将
=
{\displaystyle =}
∝ ∝ -->
{\displaystyle \propto }
g
(
k
s
→ → -->
,
ω ω -->
s
,
ρ ρ -->
o
→ → -->
,
z
o
)
{\displaystyle g({\overrightarrow {k_{s}}},\omega _{s},{\overrightarrow {\rho _{o}}},z_{o})}
g
(
k
i
→ → -->
,
ω ω -->
i
,
ρ ρ -->
2
→ → -->
,
z
2
)
{\displaystyle g({\overrightarrow {k_{i}}},\omega _{i},{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2})}
波函数 （英語：effective wave function ）
Ψ Ψ -->
(
ρ ρ -->
1
→ → -->
,
z
1
,
t
1
;
ρ ρ -->
2
→ → -->
,
z
2
,
t
2
)
=
Ψ Ψ -->
o
∫ ∫ -->
d
k
s
→ → -->
d
k
i
→ → -->
δ δ -->
(
k
s
→ → -->
+
k
i
→ → -->
)
∫ ∫ -->
d
ω ω -->
s
d
ω ω -->
i
δ δ -->
(
ω ω -->
s
+
ω ω -->
i
− − -->
ω ω -->
p
)
× × -->
g
(
k
s
→ → -->
,
ω ω -->
s
;
ρ ρ -->
1
→ → -->
,
z
1
)
e
− − -->
i
ω ω -->
s
t
1
g
(
k
i
→ → -->
,
ω ω -->
i
;
ρ ρ -->
2
→ → -->
,
z
2
)
e
− − -->
i
ω ω -->
i
t
2
{\displaystyle \Psi ({\overrightarrow {\rho _{1}}},z_{1},t_{1};{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2},t_{2})=\Psi _{o}\int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})\int d{\omega _{s}}d{\omega _{i}}\delta ({\omega _{s}}+{\omega _{i}}-{\omega _{p}})\times g({\overrightarrow {k_{s}}},\omega _{s};{\overrightarrow {\rho _{1}}},z_{1})e^{-i\omega _{s}t_{1}}g({\overrightarrow {k_{i}}},\omega _{i};{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2})e^{-i\omega _{i}t_{2}}}
Ψ Ψ -->
(
ρ ρ -->
o
→ → -->
,
ρ ρ -->
2
→ → -->
)
∝ ∝ -->
∫ ∫ -->
d
k
s
→ → -->
d
k
i
→ → -->
δ δ -->
(
k
s
→ → -->
+
k
i
→ → -->
)
g
(
k
s
→ → -->
,
ω ω -->
;
ρ ρ -->
o
→ → -->
,
z
o
)
g
(
k
i
→ → -->
,
ω ω -->
;
ρ ρ -->
2
→ → -->
,
z
2
)
∝ ∝ -->
e
i
ω ω -->
c
(
s
o
+
s
i
)
∫ ∫ -->
d
k
s
→ → -->
d
k
i
→ → -->
δ δ -->
(
k
s
→ → -->
+
k
i
→ → -->
)
× × -->
∫ ∫ -->
l
e
n
s
d
ρ ρ -->
l
→ → -->
∫ ∫ -->
s
o
u
r
c
e
d
ρ ρ -->
s
→ → -->
e
i
k
s
→ → -->
⋅ ⋅ -->
ρ ρ -->
s
→ → -->
e
ω ω -->
2
c
d
1
|
ρ ρ -->
s
→ → -->
− − -->
ρ ρ -->
l
→ → -->
|
2
× × -->
e
− − -->
i
ω ω -->
2
c
f
|
ρ ρ -->
l
→ → -->
|
2
e
i
ω ω -->
s
2
c
s
o
|
ρ ρ -->
l
→ → -->
− − -->
ρ ρ -->
o
→ → -->
|
2
× × -->
∫ ∫ -->
s
o
u
r
c
e
d
ρ ρ -->
s
′
e
i
k
i
→ → -->
⋅ ⋅ -->
ρ ρ -->
s
′
→ → -->
e
i
ω ω -->
i
2
c
d
2
|
ρ ρ -->
s
′
→ → -->
− − -->
ρ ρ -->
2
→ → -->
|
2
{\displaystyle \Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{2}}})\propto \int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})g({\overrightarrow {k_{s}}},\omega ;{\overrightarrow {\rho _{o}}},z_{o})g({\overrightarrow {k_{i}}},\omega ;{\overrightarrow {\rho _{2}}},z_{2})\propto e^{i{\frac {\omega }{c}}(s_{o}+s_{i})}\int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})\times \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}\int _{source}d{\overrightarrow {\rho _{s}}}e^{i{\overrightarrow {k_{s}}}\cdot {\overrightarrow {\rho _{s}}}}e^{{\frac {\omega }{2cd_{1}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}\times e^{-i{\frac {\omega }{2cf}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\frac {\omega _{s}}{2cs_{o}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}-{\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert ^{2}}\times \int _{source}d\rho '_{s}e^{i{\overrightarrow {k_{i}}}\cdot {\overrightarrow {\rho '_{s}}}}e^{i{\frac {\omega _{i}}{2cd_{2}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho '_{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{2}}}\right\vert ^{2}}}
二重积分
∫ ∫ -->
d
k
s
→ → -->
d
k
i
→ → -->
δ δ -->
(
k
s
→ → -->
+
k
i
→ → -->
)
e
i
k
s
→ → -->
⋅ ⋅ -->
ρ ρ -->
s
→ → -->
e
i
k
i
→ → -->
⋅ ⋅ -->
ρ ρ -->
s
′
→ → -->
∽ ∽ -->
δ δ -->
(
ρ ρ -->
s
→ → -->
− − -->
ρ ρ -->
s
′
→ → -->
)
{\displaystyle \int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})e^{i{\overrightarrow {k_{s}}}\cdot {\overrightarrow {\rho _{s}}}}e^{i{\overrightarrow {k_{i}}}\cdot {\overrightarrow {\rho '_{s}}}}\backsim \delta ({\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho '_{s}}})}
Ψ Ψ -->
(
ρ ρ -->
o
→ → -->
,
ρ ρ -->
2
→ → -->
)
∝ ∝ -->
e
i
ω ω -->
c
(
s
o
+
s
i
)
× × -->
∫ ∫ -->
l
e
n
s
d
ρ ρ -->
l
→ → -->
∫ ∫ -->
s
o
u
r
c
e
d
ρ ρ -->
s
→ → -->
e
i
ω ω -->
2
c
d
2
|
ρ ρ -->
2
→ → -->
− − -->
ρ ρ -->
s
→ → -->
|
2
e
i
ω ω -->
2
c
d
1
|
ρ ρ -->
s
→ → -->
− − -->
ρ ρ -->
l
→ → -->
|
2
× × -->
e
− − -->
i
ω ω -->
2
c
f
|
ρ ρ -->
l
→ → -->
|
2
e
i
ω ω -->
2
c
s
o
|
ρ ρ -->
l
→ → -->
− − -->
ρ ρ -->
o
→ → -->
|
2
{\displaystyle \Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{2}}})\propto e^{i{\frac {\omega }{c}}(s_{o}+s_{i})}\times \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}\int _{source}d{\overrightarrow {\rho _{s}}}e^{i{\frac {\omega }{2cd_{2}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{2}}}-{\overrightarrow {\rho _{s}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\frac {\omega }{2cd_{1}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{s}}}-{\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}\times e^{-i{\frac {\omega }{2cf}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\frac {\omega }{2cs_{o}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}-{\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert ^{2}}}
d
ρ ρ -->
s
→ → -->
{\displaystyle d{\overrightarrow {\rho _{s}}}}
Ψ Ψ -->
(
ρ ρ -->
o
→ → -->
,
ρ ρ -->
2
→ → -->
)
∝ ∝ -->
e
i
ω ω -->
c
(
s
o
+
s
i
)
× × -->
∫ ∫ -->
l
e
n
s
d
ρ ρ -->
l
→ → -->
e
i
ω ω -->
2
c
s
i
|
ρ ρ -->
2
→ → -->
− − -->
ρ ρ -->
l
→ → -->
|
2
e
− − -->
i
ω ω -->
2
c
f
|
ρ ρ -->
l
→ → -->
|
2
e
i
ω ω -->
2
c
s
o
|
ρ ρ -->
l
→ → -->
− − -->
ρ ρ -->
o
→ → -->
|
2
{\displaystyle \Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{2}}})\propto e^{i{\frac {\omega }{c}}(s_{o}+s_{i})}\times \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}e^{i{\frac {\omega }{2cs_{i}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{2}}}-{\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{-i{\frac {\omega }{2cf}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{i{\frac {\omega }{2cs_{o}}}\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}-{\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert ^{2}}}
s
i
{\displaystyle s_{i}}
d
1
+
d
2
{\displaystyle d_{1}+d_{2}}
d
ρ ρ -->
l
→ → -->
{\displaystyle d{\overrightarrow {\rho _{l}}}}
薄透镜 方程定义：
∫ ∫ -->
l
e
n
s
ρ ρ -->
l
→ → -->
e
i
ω ω -->
2
c
[
1
s
o
+
1
s
i
− − -->
1
f
]
|
ρ ρ -->
l
→ → -->
|
2
e
− − -->
i
ω ω -->
c
(
ρ ρ -->
o
→ → -->
s
o
+
ρ ρ -->
i
→ → -->
s
i
)
⋅ ⋅ -->
ρ ρ -->
l
→ → -->
∼ ∼ -->
δ δ -->
(
ρ ρ -->
o
→ → -->
+
ρ ρ -->
i
→ → -->
m
)
{\displaystyle \int _{lens}{\overrightarrow {\rho _{l}}}e^{i{\frac {\omega }{2c}}[{\frac {1}{s_{o}}}+{\frac {1}{s_{i}}}-{\frac {1}{f}}]\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{-i{\frac {\omega }{c}}({\frac {\overrightarrow {\rho _{o}}}{s_{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{s_{i}}})\cdot {\overrightarrow {\rho _{l}}}}\sim \delta ({\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}})}
ρ ρ -->
2
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{2}}}}
ρ ρ -->
i
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{i}}}}
1
s
i
+
1
s
o
=
1
f
{\displaystyle {\frac {1}{s_{i}}}+{\frac {1}{s_{o}}}={\frac {1}{f}}}
m
=
s
i
s
o
{\displaystyle m={\frac {s_{i}}{s_{o}}}}
δ δ -->
(
ρ ρ -->
o
→ → -->
+
ρ ρ -->
i
→ → -->
m
)
{\displaystyle \delta ({\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}})}
ρ ρ -->
o
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{o}}}}
ρ ρ -->
i
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{i}}}}
m
=
|
ρ ρ -->
i
→ → -->
|
|
ρ ρ -->
o
→ → -->
|
{\displaystyle m={\frac {\left\vert {\overrightarrow {\rho _{i}}}\right\vert }{\left\vert {\overrightarrow {\rho _{o}}}\right\vert }}}
考虑到成像透镜尺寸有限（设半径为R），则积分会产生点扩散函数
s
o
m
b
(
x
)
{\displaystyle somb(x)}
∫ ∫ -->
l
e
n
s
d
ρ ρ -->
l
→ → -->
e
− − -->
i
ω ω -->
c
(
ρ ρ -->
o
→ → -->
s
o
+
ρ ρ -->
i
→ → -->
s
i
)
⋅ ⋅ -->
ρ ρ -->
l
→ → -->
∝ ∝ -->
s
o
m
b
(
R
s
o
ω ω -->
c
[
ρ ρ -->
o
→ → -->
+
ρ ρ -->
i
→ → -->
m
]
)
{\displaystyle \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}e^{-i{\frac {\omega }{c}}({\frac {\overrightarrow {\rho _{o}}}{s_{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{s_{i}}})\cdot {\overrightarrow {\rho _{l}}}}\propto somb({\frac {R}{s_{o}}}{\frac {\omega }{c}}[{\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}}])}
s
o
m
b
(
x
)
=
2
J
1
(
x
)
{\displaystyle somb(x)=2J_{1}(x)}
J
1
(
x
)
{\displaystyle J_{1}(x)}
一阶贝塞尔函数 ，将物-像平面的点对点关系转化为点对像素关系，限制了成像的空间分辨率。在代入高斯薄透镜方程后，横向双光子有效波函数近似为一个
δ δ -->
{\displaystyle \delta }
Ψ Ψ -->
(
ρ ρ -->
o
→ → -->
,
ρ ρ -->
i
→ → -->
)
∼ ∼ -->
δ δ -->
(
ρ ρ -->
o
→ → -->
+
ρ ρ -->
i
→ → -->
m
)
{\displaystyle \Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{i}}})\sim \delta ({\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}})}
ρ ρ -->
o
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{o}}}}
ρ ρ -->
i
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{i}}}}
ρ ρ -->
o
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{o}}}}
ρ ρ -->
i
→ → -->
{\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{i}}}}
ρ ρ -->
o
→ → -->
+
ρ ρ -->
i
→ → -->
m
=
0
{\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}}=0}
m
=
s
i
s
o
{\displaystyle m={\frac {s_{i}}{s_{o}}}}
在信号光路的光学传递函数中再加入作为物体的光圈 、收集透镜 和光子计数检测器 桶探测器
A
(
ρ ρ -->
o
→ → -->
)
{\displaystyle A({\overrightarrow {\rho _{o}}})}
光电联合检测 的光子进行积分：
R
1
,
2
∝ ∝ -->
∫ ∫ -->
o
b
j
e
c
t
d
ρ ρ -->
o
→ → -->
|
A
(
ρ ρ -->
o
→ → -->
)
|
2
|
Ψ Ψ -->
(
ρ ρ -->
o
→ → -->
,
Ψ Ψ -->
(
ρ ρ -->
i
→ → -->
)
|
2
≅ ≅ -->
|
A
(
ρ ρ -->
i
→ → -->
m
)
|
2
{\displaystyle R_{1,2}\propto \int _{object}d{\overrightarrow {\rho _{o}}}\left\vert A({\overrightarrow {\rho _{o}}})\right\vert ^{2}\left\vert \Psi ({\overrightarrow {\rho _{o}}},\Psi ({\overrightarrow {\rho _{i}}})\right\vert ^{2}\cong \left\vert A({\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}})\right\vert ^{2}}
D
2
{\displaystyle D_{2}}
ρ ρ -->
2
→ → -->
=
ρ ρ -->
i
→ → -->
{\displaystyle {\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{2}}}}={\displaystyle {\overrightarrow {\rho _{i}}}}}
综上所述，位置EPR相关性是双光子振幅 相干叠加 的结果：
G
(
2
)
(
ρ ρ -->
o
→ → -->
,
ρ ρ -->
i
→ → -->
)
=
|
∫ ∫ -->
d
k
s
→ → -->
d
k
i
→ → -->
δ δ -->
(
k
s
→ → -->
+
k
i
→ → -->
)
g
(
k
s
→ → -->
,
ρ ρ -->
o
→ → -->
)
g
(
k
i
→ → -->
,
ρ ρ -->
2
→ → -->
)
|
2
{\displaystyle G^{(2)}({\overrightarrow {\rho _{o}}},{\overrightarrow {\rho _{i}}})=\left\vert \int d{\overrightarrow {k_{s}}}d{\overrightarrow {k_{i}}}\delta ({\overrightarrow {k_{s}}}+{\overrightarrow {k_{i}}})g({\overrightarrow {k_{s}}},{\overrightarrow {\rho _{o}}})g({\overrightarrow {k_{i}}},{\overrightarrow {\rho _{2}}})\right\vert ^{2}}
[ 28]
2000年，博托（英語：A. N. Boto ）小组提出了N光子吸收光刻 技术，这种技术使用纠缠光子流取代经典光的非相干性光子流，降低光刻技术中的最小可分辨特征尺寸。高度纠缠的光子可以使得光刻技术的最小可分辨特征尺寸突破瑞利衍射极限 规定的最小值
λ λ -->
/
2
{\displaystyle \lambda /2}
λ λ -->
/
2
N
{\displaystyle \lambda /2N}
光刻胶 吸收）。其原理可以简述为：在经典光中，N个光子到达某一特定空间区域的概率是单个光子到达该范围的N次方，但纠缠光中只要确定其中一个光子到达的区域，其他N-1个光子会到达的区域是确定的，如果光学系统对的足够准，则N个纠缠光子到达某一特定区域的概率就只需要计算一次，这使得N光子光刻不需要光焦度 达到不切实际的程度，仅使用与经典器件相同的功率 级别，即可使光刻最小可分辨特征尺寸降低N倍[ 29]
传统激光雷达 分为两种类型：扫描成像激光雷达和非扫描成像激光雷达。扫描成像激光雷达通过用脉冲激光 脉冲闪光激光源 高分辨率成像系统 进行成像，一次曝光 即可获得目标的真实空间图像，但目标反射的光强是由CCD相机许多小像素接收到的，因此检测灵敏度 信噪比 的影响。相较之下，量子成像激光雷达具有遥感 距离长、成像速度快和成像分辨率高等优点[ 30]
2009年，以色列 科学家亚伦·希尔伯格（英語：Yaron Silberberg ）等进行了计算量子成像的验证实验，提出了用于赝热量子成像的图像重建 高级算法[ 31] [ 32] 麻省理工学院 学者提出计算量子成像用于遥感成像的方案，并分析了这种方案的性能[ 33] 上海光机所 韩申生团队实现了基于稀疏约束 [ 30] [ 34] 稀疏比率 场景切片 [ 35] 清华大学 戴琼海小组提出了内容自适应 计算量子成像方法，用以在测量次数较少的情况下重建较高质量的图像，从而完成对动态目标的成像[ 36]
^ 1.0 1.1 Ferri, F.; Magatti, D.; Gatti, A.; Bache, M.; Brambilla, E.; Lugiato, L. A. High-Resolution Ghost Image and Ghost Diffraction Experiments with Thermal Light . Physical Review Letters. 2005-05-12, 94 (18): 183602 [2020-07-30 ] . ISSN 0031-9007 doi:10.1103/PhysRevLett.94.183602 ^ 2.0 2.1 Gatti, A.; Brambilla, E.; Bache, M.; Lugiato, L. A. Correlated imaging, quantum and classical . Physical Review A. 2004-07-06, 70 (1): 013802 [2020-07-30 ] . ISSN 1050-2947 doi:10.1103/PhysRevA.70.013802 ^ 3.0 3.1 Klyshko, D N. Quantum optics: quantum, classical, and metaphysical aspects . Physics-Uspekhi. 1994-11-30, 37 (11): 1097–1122 [2020-07-19 ] . ISSN 1063-7869 doi:10.1070/PU1994v037n11ABEH000054 ^ OUYANG Jun; REN Lili. Quantum imaging and its application prospects in biomedicine . Chinese Journal of Medical Physics. 2018-12-24, 35 (12) [2020-07-31 ] . doi:10.3969/j.issn.1005-202X.2018.12.015 存档 于2022-05-16）. ^ 项青. 非均匀光强分布的反射式水下量子成像研究 15 (6). 2017-09-19 [2020-07-31 ] . doi:10.19519/j.cnki.1672-3392.2017.06.005 存档 于2021-06-10）. ^ Brown, R. Hanbury; Twiss, R. Q. Correlation between Photons in two Coherent Beams of Light . Nature. 1956-01, 177 (4497): 27–29 [2020-07-12 ] . ISSN 1476-4687 doi:10.1038/177027a0 存档 于2020-11-14）. ^ Hanbury Brown, R.; Twiss, R. Q. The Question of Correlation between Photons in Coherent Light Rays . Nature. 1956-12, 178 (4548): 1447–1448 [2020-07-13 ] . ISSN 1476-4687 doi:10.1038/1781447a0 存档 于2022-11-28）. ^ 8.0 8.1 孙利群, 王佳. 自发参量下转换双光子场应用研究进展 . 物理. 2000-12-20, 29 (12): 0–0 [2020-07-15 ] . ISSN 0379-4148 存档 于2022-05-22）. ^ Burnham, David C.; Weinberg, Donald L. Observation of Simultaneity in Parametric Production of Optical Photon Pairs . Physical Review Letters. 1970-07-13, 25 (2): 84–87 [2020-07-13 ] . doi:10.1103/PhysRevLett.25.84 ^ Klyshko, D. N. A simple method of preparing pure states of an optical field, of implementing the Einstein–Podolsky–Rosen experiment, and of demonstrating the complementarity principle . Soviet Physics Uspekhi. 1988-01-31, 31 (1): 74 [2020-07-18 ] . ISSN 0038-5670 doi:10.1070/PU1988v031n01ABEH002537 ^ 邱晓东; 陈理想. 关联成像技术研究现状及展望 . 中国光学期刊网. 2019-03-04 [2020-07-18 ] . （原始内容存档 于2021-06-10）. ^ Pittman, T. B.; Shih, Y. H.; Strekalov, D. V.; Sergienko, A. V. Optical imaging by means of two-photon quantum entanglement . Physical Review A. 1995-11-01, 52 (5): –3429 [2020-07-19 ] . doi:10.1103/PhysRevA.52.R3429 存档 于2022-12-07）. ^ 汪凯戈; 曹德忠; 熊俊. 关联光学新进展 . 物理. 2008-04-12, (4): 223–232 [2020-07-12 ] . （原始内容存档 于2021-06-10）. ^ Monken, C. H.; Ribeiro, P. H. Souto; Pádua, S. Transfer of angular spectrum and image formation in spontaneous parametric down-conversion . Physical Review A. 1998-04-01, 57 (4): 3123 [2020-07-19 ] . doi:10.1103/PhysRevA.57.3123 存档 于2020-07-10）. ^ Abouraddy, Ayman F.; Saleh, Bahaa E. A.; Sergienko, Alexander V.; Teich, Malvin C. Role of Entanglement in Two-Photon Imaging . Physical Review Letters. 2001-08-30, 87 (12): 123602 [2020-07-29 ] . ISSN 0031-9007 doi:10.1103/PhysRevLett.87.123602 ^ Bennink, Ryan S.; Bentley, Sean J.; Boyd, Robert W. “Two-Photon” Coincidence Imaging with a Classical Source . Physical Review Letters. 2002-08-26, 89 (11): 113601 [2020-07-30 ] . ISSN 0031-9007 doi:10.1103/PhysRevLett.89.113601 ^ Valencia, Alejandra; Scarcelli, Giuliano; D’Angelo, Milena; Shih, Yanhua. Two-Photon Imaging with Thermal Light . Physical Review Letters. 2005-02-16, 94 (6): 063601 [2020-07-30 ] . ISSN 0031-9007 doi:10.1103/PhysRevLett.94.063601 ^ 18.0 18.1 Zhai, Yan-Hua; Chen, Xi-Hao; Zhang, Da; Wu, Ling-An. Two-photon interference with true thermal light . Physical Review A. 2005-10-11, 72 (4): 043805 [2020-07-30 ] . ISSN 1050-2947 doi:10.1103/PhysRevA.72.043805 ^ Zhang, Da; Zhai, Yan-Hua; Wu, Ling-An; Chen, Xi-Hao. Correlated two-photon imaging with true thermal light . Optics Letters. 2005-09-15, 30 (18): 2354 [2020-07-30 ] . ISSN 0146-9592 doi:10.1364/OL.30.002354 ^ Erkmen, Baris I.; Shapiro, Jeffrey H. Unified theory of ghost imaging with Gaussian-state light . Physical Review A. 2008-04-07, 77 (4): 043809 [2020-08-02 ] . ISSN 1050-2947 doi:10.1103/PhysRevA.77.043809 ^ Cheng, Jing; Han, Shensheng. Incoherent Coincidence Imaging and Its Applicability in X-ray Diffraction . Physical Review Letters. 2004-03-04, 92 (9): 093903 [2020-07-30 ] . ISSN 0031-9007 doi:10.1103/PhysRevLett.92.093903 ^ Scarcelli, Giuliano; Berardi, Vincenzo; Shih, Yanhua. Phase-conjugate mirror via two-photon thermal light imaging . Applied Physics Letters. 2006-02-06, 88 (6): 061106 [2020-07-30 ] . ISSN 0003-6951 doi:10.1063/1.2172410 存档 于2021-06-10）. ^ Shapiro, Jeffrey H. Computational ghost imaging . Physical Review A. 2008-12-18, 78 (6): 061802 [2020-07-30 ] . doi:10.1103/PhysRevA.78.061802 ^ Sun, B.; Edgar, M. P.; Bowman, R.; Vittert, L. E.; Welsh, S.; Bowman, A.; Padgett, M. J. 3D Computational Imaging with Single-Pixel Detectors . Science. 2013-05-17, 340 (6134): 844–847 [2020-07-30 ] . ISSN 0036-8075 doi:10.1126/science.1234454 ^ Ferri, F. Differential Ghost Imaging. Physical Review Letters. 2010, 104 (25). doi:10.1103/PhysRevLett.104.253603 ^ 26.0 26.1 Li, Ming-Fei; Zhang, Yu-Ran; Luo, Kai-Hong; Wu, Ling-An; Fan, Heng. Time-correspondence differential ghost imaging . Physical Review A. 2013-03-14, 87 (3): 033813 [2020-07-30 ] . ISSN 1050-2947 doi:10.1103/PhysRevA.87.033813 ^ Luo, Kai-Hong; Huang, Bo-Qiang; Zheng, Wei-Mou; Wu, Ling-An. Nonlocal Imaging by Conditional Averaging of Random Reference Measurements . Chinese Physics Letters. 2012-07, 29 (7): 074216 [2020-07-31 ] . ISSN 0256-307X doi:10.1088/0256-307X/29/7/074216 存档 于2022-05-03）. ^ 28.0 28.1 28.2 28.3 Shih, Yanhua. Quantum Imaging . IEEE Journal of Selected Topics in Quantum Electronics. 2007, 13 (4): 1016–1030 [2020-08-01 ] . ISSN 1077-260X doi:10.1109/JSTQE.2007.902724 存档 于2020-03-27）. ^ Boto, Agedi N.; Kok, Pieter; Abrams, Daniel S.; Braunstein, Samuel L.; Williams, Colin P.; Dowling, Jonathan P. Quantum Interferometric Optical Lithography: Exploiting Entanglement to Beat the Diffraction Limit . Physical Review Letters. 2000-09-25, 85 (13): 2733–2736 [2020-07-19 ] . doi:10.1103/PhysRevLett.85.2733 ^ 30.0 30.1 Zhao, Chengqiang; Gong, Wenlin; Chen, Mingliang; Li, Enrong; Wang, Hui; Xu, Wendong; Han, Shensheng. Ghost imaging lidar via sparsity constraints . Applied Physics Letters. 2012-10-01, 101 (14): 141123 [2020-07-31 ] . ISSN 0003-6951 doi:10.1063/1.4757874 存档 于2021-06-10）. ^ Katz, Ori; Bromberg, Yaron; Silberberg, Yaron. Compressive ghost imaging . Applied Physics Letters. 2009-09-28, 95 (13): 131110 [2020-07-31 ] . ISSN 0003-6951 doi:10.1063/1.3238296 存档 于2016-01-24）. ^ Bromberg, Yaron; Katz, Ori; Silberberg, Yaron. Ghost imaging with a single detector . Physical Review A. 2009-05-19, 79 (5): 053840 [2020-07-31 ] . doi:10.1103/PhysRevA.79.053840 ^ Erkmen, Baris I. Computational ghost imaging for remote sensing . Journal of the Optical Society of America A. 2012-05-01, 29 (5): 782 [2020-07-31 ] . ISSN 1084-7529 doi:10.1364/JOSAA.29.000782 ^ Gong, Wenlin; Zhao, Chengqiang; Yu, Hong; Chen, Mingliang; Xu, Wendong; Han, Shensheng. Three-dimensional ghost imaging lidar via sparsity constraint . Scientific Reports. 2016-05-17, 6 (1): 26133 [2020-07-31 ] . ISSN 2045-2322 doi:10.1038/srep26133 存档 于2016-10-27）. ^ Yu, Hong; Li, Enrong; Gong, Wenlin; Han, Shensheng. Structured image reconstruction for three-dimensional ghost imaging lidar . Optics Express. 2015-06-01, 23 (11): 14541–14551 [2020-07-31 ] . ISSN 1094-4087 doi:10.1364/OE.23.014541 存档 于2020-09-23）. ^ Li, Ziwei; Suo, Jinli; Hu, Xuemei; Dai, Qionghai. Content-adaptive ghost imaging of dynamic scenes . Optics Express. 2016-04-04, 24 (7): 7328–7336 [2020-07-31 ] . ISSN 1094-4087 doi:10.1364/OE.24.007328 存档 于2020-02-11）.
![{\displaystyle \int _{lens}{\overrightarrow {\rho _{l}}}e^{i{\frac {\omega }{2c}}[{\frac {1}{s_{o}}}+{\frac {1}{s_{i}}}-{\frac {1}{f}}]\left\vert {\overrightarrow {\rho _{l}}}\right\vert ^{2}}e^{-i{\frac {\omega }{c}}({\frac {\overrightarrow {\rho _{o}}}{s_{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{s_{i}}})\cdot {\overrightarrow {\rho _{l}}}}\sim \delta ({\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5edb831afa18349a867b71354de670e55b3f352d)
![{\displaystyle \int _{lens}d{\overrightarrow {\rho _{l}}}e^{-i{\frac {\omega }{c}}({\frac {\overrightarrow {\rho _{o}}}{s_{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{s_{i}}})\cdot {\overrightarrow {\rho _{l}}}}\propto somb({\frac {R}{s_{o}}}{\frac {\omega }{c}}[{\overrightarrow {\rho _{o}}}+{\frac {\overrightarrow {\rho _{i}}}{m}}])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a5941940cb32f354a5ce86ff6188eb38e51996e)
