在數學 裡，重合幾何 （incidence geometry）是研究重合結構 的一門學科。歐氏平面 之類的幾何 是一個複雜的數學物件 ，包含長度、角度、連續性、中間性與重合關係 。當其他的概念都被去掉，剩下的就只有「重合結構」，有關哪個點會位於哪條線上的資訊。即使有這樣嚴格的限制，還是有定理可被證明，而且存在著與此一結構有關之有趣事實。這樣的基本結論在其他概念被加回來形成較豐富的幾何時，仍然有效。有時，一些作者會搞混研究與研究的物件之間的不同之處，所以有些作者會將重合結構指為重合幾何，這並不令人意外[ 1]
重合結構會自然地出現於各個不同的數學領域之內，並已被許多人研究過。因此，存在著許多不同的詞彙用來描述此一物件。在圖論 裡，重合結構被稱為超圖 ；而在組合設計理論 裡，則被稱為區塊設計 。除了詞彙的不同外，每個領域也以不同的方式處理此一物件，並對這些物件與該學科有關的一類問題感興趣。使用幾何的語言，如同在重合幾何內一般，形狀即時常會被作為主題與範例。不過，將其中一個學科裡的結論轉換成另一學科裡的用詞是可能的，雖然這往往會導致難以操作且令人費解的陳述，不像是該主題原本的一部分。在本條目裡，只會選擇使用能自然呈現幾何語言的範例。
其中最令人感興趣的例子為在歐氏平面 上的有限點集合，可由重合結構決定線的數量與類型。因為只考慮重合性質，上述情形所得之部分結論可延伸至更一般的設定上。
重合結構 (P , L , I) 標記 」）[ 2]
重合結構裡並沒有距離（度量 ）的概念。不過，組合度量可存在於相對應的重合圖（勒維圖 ）裡，即為二分圖 內兩個頂點間最短道路 的長度。重合結構內兩個物件（兩個點、兩條線或一個點與一條線）的距離，可被定義為與重合結構相對應之重合圖內，對應之頂點間的距離。
另一種定義距離的方式，再度使用於圖論中的概念，此次為與重合結構相對應之「共線圖」。共線圖的頂點為重合結構的點，且兩個點互連，若存在一條線重合這兩個點。重合結構內兩個點的距離可定義為共線圖內兩個頂點的距離。
當於重合結構內考量距離時，有必要提及其定義方式。
最常被研究的重合結構會附加上一些額外的性質（公理），如投影平面 、仿射平面 、廣義多邊形 、部分幾何 與近多邊形 等。極為一般的重合結構可透過附加「溫和」的條件取得，如：
部分線性空間 為一重合結構，使得下列公理為真[ 3]
每對不同點至多決定一條線。
每條線至少包含兩個不同的點。 在部分線性空間裡，每對不同條線相交於至多一個點上。此一陳述不須作為公理的一部分，因為可由上述公理中簡單地被證明出來。
此外，可更進一步加上正則條件之限制：
RLk ：每條線會重合的點之數量均相同。若該數為有限，通常標記為 k。
RPr ：每個點會重合的線之數量均相同。若該數為有限，通常標記為 r。
部分線性空間的第二個公理蘊涵著 k > 1r > 1
有限部分線性空間若滿足正則條件，且 有限部分線性空間若滿足正則條件，且 k, r > 1，則稱之為「策略配置」（tactical configuration）[ 4] 配置 [ 5] [ 6] (n r m k (n k n k (n k
最簡單的非平凡線性空間 線性空間 為一部分線性空間，使得[ 7]
一些作者會在(部分)線性空間裡加上「非退化」（或「非平凡」）公理，如：
這被用來排除一些非常小的例子（主要是集合 P 或 L 內少於2個元素之情形），這些例子通常會成為與重合結構有關之一般陳述的例外。另一種附加公理的方式為，將不符合公理的重合結構稱為「平凡」的；符合的則稱為「非平凡」的。
每個非平凡線性空間包含至少三個點與三條線，因此最簡單的非平凡線性空間為一三角形。
線性空間裡若每條線上至少有三個點，則稱之為西爾維斯特-加萊配置 。
重合幾何裡的一些基本概念與術語源自於幾何之中，尤其是仿射平面 與投影平面 。
「投影平面」是一個線性空間，使得：
以及非退化條件：
存在四個點，使得不存在三個這些點共線 。
在投影平面裡，點 P 與線 L 間存在著對射 。若 P 為一有限集合，該投影平面稱之為「有限」投影平面。有限投影平面的階為 n = k - 1，即線上的點之數量減一。所有已知的投影平面均有質數冪次 的階。n 階投影平面為 ((n 2 + n + 1)n + 1
最小的投影平面有二階，並被稱為「法諾平面」。
二階投影平面
此一著名的重合幾何係由義大利數學家基諾·法諾 研究而得[ 9] 投影空間 公理之獨立性的過程中[ 10] [ 11] 法諾平面 。
法諾平面無法於歐氏平面 內只使用點與直線段來表示。這是西爾維斯特-加萊定理 的結論。
一個完全四線形 由四個點組成，沒有任何三個點共線 。在法諾平面裡，除在完整四邊形裡的四個點外，另有三個完整四邊形的對角點，且這三個點共線 。這違反了「法諾公理」。該公理通常被用來作為歐氏平面的公理，表示一完整四邊形的三個對角點絕不會共線 。
「仿射平面」是一個線性空間，使得：
對任一點 A 與不與該點重合的線 l（非標記）恰有一條與 A 重合（即 A I m），但不與 l 相交的線 m（稱之為普萊費爾公理 ）。 並滿足非退化條件：
在普萊費爾公理裡所述之線 l 與 m 被稱為是平行的。每個仿射平面均可唯一地被擴展成投影平面。有限仿射平面的「階」為 k，即一條線上點的數量。n 階仿射平面為 ((n 2 )n + 1n 2 + n )n
三階仿射平面
3階仿射平面為 (94 , 123 ) 黑塞配置 複投影平面 裡實現，有9個橢圓曲線 的反曲點 及12條線，且每條線各與3個點重合。
這12條線可以分成4類，每類3條線。在各類中，線互不相交。這些類被稱為線的「平行類」。加上4個新的點，於各個平行類中的所有線上（所以現在所有線都相交）；以及一條新的線，只包括這4個新的點，即可形成3階投影平面，具 (134 )
移除一個點並通過該點的4條線（但不包括其他在這些線上的點）會形成 (83 ) 莫比烏斯-坎特配置 。
部分幾何 pg(2,2,1) 給定一整數 α ≥ 1，策略配置若滿足：
對每個非標記 (B, m)，存在 α 個標記，使得 B I l 與 A I m，
則稱之為「部分幾何」。若一條線上有 s+1 個點，且一個點上有 t+1 條線，則該部分幾何標記為 pg(s, t, α)。
若 α = 1，該部分幾何為廣義四邊形 。
若 α = s + 1，該部分幾何為斯坦納系統 。
對 n > 2,[ 12] 周長 （最短環 的長度）是 Γ 的直徑 （兩個頂點間最長的距離，在此為 n）的兩倍。
「廣義2邊形」是一個重合結構，但不是部分線性空間，包括至少2個點與2條均與每個點重合的線。廣義2邊形的重合圖為一完整二分圖。
廣義 n 邊形不包含一般 m 邊形 ，其中 2 ≤ m < n；且對每一對物件（兩個點、兩條線或一個點與一條線），總存在一包含這兩個物件的一般 n 邊形。
廣義3邊形為投影平面，廣義4邊形稱為廣義四邊形 。由范特-希格曼定理可知，具有每條線至少3個點與每個點至少3條線的有限廣義 n 邊形只有 n = 2、3、4、6 或 8 時的廣義多邊形。
對一非負整數 d，近 2d 邊形是一重合結構，使得：
兩個點的最大距離（如在共線圖內量測）為 d，且
對每個點 X 與 線 l，存在唯一個在 l 上且最接近 X 的點。 近 0 邊形為一個點，近 2 邊形為一條線。近 2 邊形的共線圖為一完全圖 。近 4 邊形為一（可能退化的）廣義四邊形。每個廣義多邊形都是個近多邊形。任何連通二分圖均是近多邊形，且任一每條線上恰有2個點的近多邊形也都是連通二分圖。此外，所有的對偶極空間 都是近多邊形。
一些近多邊形與有限簡單群 有關。
抽象莫比烏斯平面（或稱為反演平面）是一個重合結構，並為避免與傳統平面中的術語產生混淆，將之中的線稱之為「環」或「區塊」。
具體來說，莫比烏斯平面是一個點與環的重合結結，使得：
每三個不同點恰與一個環重合。
For any flag (P , z ) Q z z ∗ P I z ∗ , Q I z ∗ z ∩ z ∗ = {P touch at P
對任一標記 (P, z) 與任一不重合於 z 的點 Q，存在唯一個環 z ∗ P I z ∗ Q I z ∗ z ∩ z ∗ = {P
每個環有至少3個點，且至少存在一個環。 對莫比烏斯平面上的任一點 P，取 P 以外的其他所有點為點，以及僅包括 P 的環（並移除 P）為線，所得出之重合結構為一仿射平面。此一結構在設計理論中稱之為在 P 的「剩餘」。
m 階有限莫比烏斯平面具一策略配置，使得每個為 3-設計 （具體來說，為 3-(m 2 + 1, m + 1, 1) k = m + 1
西爾維斯特-加萊定理是詹姆斯·約瑟夫·西爾維斯特 提出一個與歐氏平面裡有限點集合之重合關係有關的問題，並由蒂博爾·由加萊 提出解答。
西爾維斯特-加萊定理 ：歐氏平面上取一組有限多個點，這些點不是共線 ，就是存在一條線恰與其中的兩個點重合。
該條恰與其中的兩個點重合的線，在此稱為「一般線」。西爾維斯特在思索黑塞配置的嵌入性時，幾乎快解出這個問題。
相關的結論為迪布恩-艾狄胥定理。尼古拉斯·霍弗特·迪布恩 與保羅·艾狄胥 於更一般設定的投影平面上證明出此一結論，但於歐氏平面中亦仍然成立。該定理為[ 13]
於一投影平面 上，每組非共線 的 n 個點，可至少決定 n 條不同的線。 正如作者所指出的一般，因為他們的證明是組合的，此一結論在更大的設定，且實際上在任一重合幾何內均會成立。他們還提到，在歐氏平面上的定理可利用數學歸納法 由西爾維斯特-加萊定理證得。
一組有限的點與線所具有的標記數量之概估可由下列定理給出：
塞邁雷迪-托特定理 ：給定平面上的 n 個點與 m 條線，其標記（重合的對線對）之數量為：
O
(
n
2
3
m
2
3
+
n
+
m
)
,
{\displaystyle O\left(n^{\frac {2}{3}}m^{\frac {2}{3}}+n+m\right),}
而且，此一概估無法再更加精確。
此一結論可用來證明貝克定理。
貝克定理表示，平面上任意有限多個點不是大部分的點會位於單一條線上，就是需要大量的線來連接所有的點。
該定理斷言，存在正實數 C、K，使得給定平面上任意 n 個點，下列陳述至少一個為真：
存在一條線包含至少n / C
存在至少 n 2 / K 在貝克原本的證明中，C 為100，而 K 則為一不確定的常數；但不知何值才是 C 與 K 的最優解。
^ As, for example, L. Storme does in his chapter on Finite Geometry in Colbourn & Dinitz (2007 ，pg. 702)
^ 技術上來看，這是個兩維的重合結構，其中維度是指考慮之物件類型數量（這裡為點與線）。也有人在研究更高維的結構，但一些作者會限定在兩維的情形，這裡也是如此。
^ Moorhouse ，pg.5^ Dembowski 1968 ，第5頁^ Coxeter, H. S. M. , Introduction to Geometry, New York: John Wiley & Sons: 233, 1969, ISBN 0-471-50458-0 ^ Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan , Geometry and the Imagination 2nd, Chelsea: 94–170, 1952, ISBN 0-8284-1087-9 ^ Moorhouse ，pg. 5^ 亦有其他的「非平凡」公理，如Batten與Beutelspacher於1993年提出的公理，為「存在三個不在同一條線上的點」。另外還有其他的選擇，均為「存在」陳述，以排除一些過於簡單的例子。
^ Fano, G., Sui postulati fondamentali della geometria proiettiva, Giornale di Matematiche, 1892, 30 : 106–132 ^ Collino, Conte & Verra 2013 ，p. 6^ Malkevitch Finite Geometries? an AMS Featured Column^ n 邊形裡的「n」不應於配置內的點之數量搞混。
^ Weisstein, Eric W. （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ）, "de Bruijn–Erdős Theorem" （页面存档备份 ，存于互联网档案馆 ） from MathWorld Archive.is 的存檔 ，存档日期2000-02-29
Batten, Lynn Margaret, Combinatorics of Finite Geometries, New York: Cambridge University Press, 1986, ISBN 0-521-31857-2 Batten, Lynn Margaret; Beutelspacher, Albrecht, The Theory of Finite Linear Spaces, New York: Cambridge University Press, 1993, ISBN 0-521-33317-2 Buekenhout, Francis (1995), Handbook of Incidence Geometry: Buildings and Foundations , Elsevier B.V. Colbourn, Charles J.; Dinitz, Jeffrey H., Handbook of Combinatorial Designs 2nd, Boca Raton: Chapman & Hall/ CRC, 2007, ISBN 1-58488-506-8 Collino, Alberto; Conte, Alberto; Verra, Alessandro. On the life and scientific work of Gino Fano. 2013. arXiv:1311.7177
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