数论中,欧拉乘积(英語:Euler product)是指狄利克雷级数可表示为一指标为素数的无穷乘积。这一乘积以瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的名字命名,他证明了黎曼ζ函数可表示为此无穷乘积的形式。
定义
假设为一积性函数,则狄利克雷级数
等于欧拉乘积
其中,乘积对所有素数进行,则可表示为
这可以看作形式母函数,形式欧拉乘积展开的存在性与为积性函数两者互为充要条件。
为完全积性函数时可得到一重要的特例。此时为等比级数,有
当时即为黎曼ζ函数,更一般的情形则是狄利克雷特征。
参考文献
- G. Polya, Induction and Analogy in Mathematics Volume 1 Princeton University Press (1954) L.C. Card 53-6388 (A very accessible English translation of Euler's memoir regarding this "Most Extraordinary Law of the Numbers" appears starting on page 91)
- Apostol, Tom M., Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976, ISBN 978-0-387-90163-3, MR 0434929, Zbl 0335.10001 (Provides an introductory discussion of the Euler product in the context of classical number theory.)
- G.H. Hardy and E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, 5th ed., Oxford (1979) ISBN 0-19-853171-0 (Chapter 17 gives further examples.)
- George E. Andrews, Bruce C. Berndt, Ramanujan's Lost Notebook: Part I, Springer (2005), ISBN 0-387-25529-X
- G. Niklasch, Some number theoretical constants: 1000-digit values"