Bài viết này cần thêm chú thích nguồn gốc để kiểm chứng thông tin. Mời bạn giúp hoàn thiện bài viết này bằng cách bổ sung chú thích tới các nguồn đáng tin cậy. Các nội dung không có nguồn có thể bị nghi ngờ và xóa bỏ. (Tìm hiểu cách thức và thời điểm xóa thông báo này)

Định lý Gelfond-Schneider mang tên của nhà toán học người Nga Alexander Osipovich Gelfond (1906-1968) và của nhà toán học Theodor Schneider (1911-1988), hai người cùng độc lập chứng minh trong lý thuyết số định lý này trong năm 1934.

Cho một số đại số a khác 1 và khác 0, và một số vô tỉ đại số b, thì số a^b là số siêu việt.

Các số sau đây là siêu việt:

• ${\displaystyle e^{\pi }=(e^{i\pi })^{-i}=(-1)^{i}}$
• ${\displaystyle 3^{\sqrt {5}}}$

Nếu không có điều kiện a và b là các số đại số, định lý nói chung không đúng. Ví dụ, ${\displaystyle {\left({\sqrt {2}}^{\sqrt {2}}\right)}^{\sqrt {2}}={\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}^{2}=2.}$ ở đây, a là √2^√2, là một số siêu việt. Tương tự, nếu a = 3 và b = (log 2)/(log 3) là một số siêu việt, thì a^b = 2 là một số đại số.

• Định lý này được tổng quát hóa thành định lý Baker, bởi nhà toán học người Anh Alan Baker (1939- ) chứng minh năm 1966, như sau:

Nếu a₁,a₂,..., a_n là các số khác không sao cho log a₁, log a₂,..., log a_n là độc lập tuyến tính trên trường số hữu tỉ, thì 1, log a₁, log a₂,..., log a_n cũng độc lập tuyến tính trên mọi trường số đại số.

• Định lý này cũng cung cấp một lời giải cho vấn đề thứ 7 của Các bài toán Hilbert.

• Quy ước log lấy trên cơ số tự nhiên e (đôi khi còn được viết là ln).

• Baker, Alan (1975), Transcendental number theory, Cambridge University Press, tr. 10, ISBN 978-0-521-20461-3, Zbl 0297.10013
• Feldman, N. I.; Nesterenko, Yu. V. (1998), Transcendental numbers, Encyclopedia of mathematical sciences, 44, Springer-Verlag, ISBN 3-540-61467-2, MR 1603604
• Gel'fond, A. O. (1960) [1952], Transcendental and algebraic numbers, Dover Phoenix editions, New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-49526-2, MR 0057921
• LeVeque, William J. (2002) [1956]. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-42539-9.
• Niven, Ivan (1956). Irrational Numbers. Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-011-7.

• Aleksandr Gelfond (1934). "Sur le septième Problème de Hilbert". Bulletin de l'Académie des Sciences de l'URSS. Classe des sciences mathématiques et na. VII (4): 623–634.

• Weisstein, Eric W., "Gelfond-Schneider Theorem" từ MathWorld.

Bài viết liên quan đến toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn. x t s