Điểm hữu tỷ
Trong lý thuyết số và hình học đại số , một điểm hữu tỷ của đa tạp đại số là một điểm có tọa độ thuộc về một trường nhất định. Nếu trường không được đề cập tới, trường số hữu tỷ thường được coi là ngầm định. Nếu trường nói đến là trường các số thực , một điểm hữu tỷ thường được gọi là điểm thực .
Nghiên cứu các điểm hữu tỷ là mục tiêu trung tâm của lý thuyết số và hình học Diophantine . Ví dụ, định lý lớn của Fermat có thể được trình bày lại như sau: với n > 2đường cong Fermat của phương trình
x
n
+
y
n
=
1
{\displaystyle x^{n}+y^{n}=1}
(1, 0) , (0, 1) và, nếu n là chẵn, (–1, 0) và (0, –1) .
Cho một trường k và một phần mở rộng đại số đóng K của k , một đa tạp affine X trên k là tập hợp các không điểm phổ biến trong
K
n
{\displaystyle K^{n}}
k :
f
1
(
x
1
,
… … -->
,
x
n
)
=
0
,
… … -->
,
f
r
(
x
1
,
… … -->
,
x
n
)
=
0.
{\displaystyle f_{1}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0,\ldots ,f_{r}(x_{1},\dots ,x_{n})=0.}
Các không điểm phổ biến này được gọi là các điểm của X.
Một điểm hữu tỷ k (k - hữu tỷ hoặc k -point ) của X là một điểm của X thuộc về k n a 1 ,..., a n n phần tử của k sao cho f j (a 1 ,..., a n j . Tập hợp các điểm hữu tỷ k của X thường được ký hiệu là X (k ).
Đôi khi, khi trường k được hiểu hoặc khi k là trường Q của các số hữu tỷ , người ta nói "điểm hữu tỷ" thay vì "điểm k -hữu tỷ".
Ví dụ: các điểm hữu tỷ của vòng tròn đơn vị với phương trình
x
2
+
y
2
=
1
{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1}
là các cặp số hữu tỷ
(
a
c
,
b
c
)
,
{\displaystyle \left({\frac {a}{c}},{\frac {b}{c}}\right),}
Trong đó
(
a
,
b
,
c
)
{\displaystyle (a,b,c)}
bộ ba số Pythagore .
Campana, Frédéric (2004), “Orbifolds, special varieties and classification theory” (PDF) , Annales de l'Institut Fourier 54 (3): 499–630, doi :10.5802/aif.2027 , MR 2097416 Colliot-Thélène, Jean-Louis ; Kanevsky, Dimitri; Sansuc, Jean-Jacques (1987), “Arithmétique des surfaces cubiques diagonales”, Diophantine Approximation and Transcendence Theory , Lecture Notes in Mathematics, 1290 , Springer Nature , tr. 1–108, doi :10.1007/BFb0078705 , ISBN 978-3-540-18597-0 MR 0927558 Esnault, Hélène (2003), “Varieties over a finite field with trivial Chow group of 0-cycles have a rational point”, Inventiones Mathematicae 151 (1): 187–191, arXiv :math/0207022 Bibcode :2003InMat.151..187E , doi :10.1007/s00222-002-0261-8 , MR 1943746 Hassett, Brendan (2003), “Potential density of rational points on algebraic varieties”, Higher Dimensional Varieties and Rational Points (Budapest, 2001) , Bolyai Society Mathematical Studies, 12 , Springer Nature , tr. 223–282, doi :10.1007/978-3-662-05123-8_8 , ISBN 978-3-642-05644-4 MR 2011748 Heath-Brown, D. R. (1983), “Cubic forms in ten variables”, Proceedings of the London Mathematical Society , 47 (2): 225–257, doi :10.1112/plms/s3-47.2.225 , MR 0703978 Hindry, Marc; Silverman, Joseph H. (2000), Diophantine Geometry: an Introduction , Springer Nature , ISBN 978-0-387-98981-5 MR 1745599 Hooley, Christopher (1988), “On nonary cubic forms”, Journal für die reine und angewandte Mathematik 1988 (386): 32–98, doi :10.1515/crll.1988.386.32 , MR 0936992 Katz, N. M. (1980), “The work of Pierre Deligne” (PDF) , Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Helsinki, 1978) , Helsinki: Academia Scientiarum Fennica , tr. 47–52, MR 0562594 Kollár, János (2002), “Unirationality of cubic hypersurfaces”, Journal of the Mathematical Institute of Jussieu , 1 (3): 467–476, arXiv :math/0005146 doi :10.1017/S1474748002000117 , MR 1956057 Poonen, Bjorn (2017), Rational Points on Varieties , American Mathematical Society , ISBN 978-1-4704-3773-2 MR 3729254 Silverman, Joseph H. (2009) [1986], The Arithmetic of Elliptic Curves (ấn bản thứ 2), Springer Nature , ISBN 978-0-387-96203-0 MR 2514094 Skorobogatov, Alexei (2001), Torsors and Rational Points , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-80237-6 MR 1845760
