Nguyên hàm

Ký hiệu của tích phân

Trong bộ môn giải tích, một nguyên hàm (tiếng Anh: primitive hoặc đơn giản hơn là anti-derivative) của một hàm số thực liên tục cho trước f là một hàm F sao cho có đạo hàm bằng f, nghĩa là, F' = f. Quá trình tìm nguyên hàm được gọi là tích phân bất định. Tìm một biểu thức cho nguyên hàm là công việc khó hơn so với việc tìm đạo hàm, và không phải luôn luôn thực hiện được.

Tuy nhiên, bất kỳ hàm số liên tục trên đoạn hay khoảng từ giá trị a đến b, thì đều tồn tại nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn/khoảng từ a đến b nêu trên.[1]

Nguyên hàm được liên hệ với tích phân thông qua định lý cơ bản của giải ,cung cấp một phương tiện tiện lợi để tính toán tích phân của nhiều hàm số.

Định nghĩa

Cho hàm số f xác định trên K. Hàm số F được gọi là nguyên hàm của hàm số f trên K nếu F(x) khả vi trên KF'(x) = f(x) với mọi x thuộc K. Thí dụ:

(1) Hàm số f (x) = cos x có nguyên hàm là F (x) = sin x vì (sin x)' = cos x (tức F '(x) = f (x)).

(2) Hàm số f (x) = ax có nguyên hàm là F(x) = = ax.

Giả sử hàm số F là một nguyên hàm của hàm số f trên K. Khi đó: với mỗi hằng số C, hàm số y = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f trên K và ngược lại với mỗi nguyên hàm G của f trên K thì tồn tại một hằng số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x thuộc K. Do đó ta thấy nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì mọi nguyên hàm của f trên K đều có dạng F(x) + C với số thực C. Vậy F(x) + C với số thực C là họ tất cả các nguyên hàm của f trên K. Kí hiệu:

Người ta chứng minh được mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K. Các hàm số có nguyên hàm trên K được gọi là khả tích trên K.

Tính chất

1) Nguyên hàm là một ánh xạ tuyến tính. Tức là nếu fg là hai hàm số liên tục trên K thì

  • (với mọi số thực k khác 0).

Ví dụ:

.

2) Tích phân từng phần (xuất phát từ tính chất vi phân của tích): Nếu f = f(x)g = g(x) là hai hàm số liên tục và khả vi trên K thì:

do:

)

Tính chất này thường được sử dụng để đưa việc tìm nguyên hàm của một hàm khó hoặc phức tạp hơn (thường là tích của nhiều loại hàm) về việc tìm nguyên hàm của một hàm dễ hoặc đơn giản hơn.

Ví dụ:

  • Tích của hàm luỹ thừa và hàm mũ:
  • Tích của hàm luỹ thừa và hàm lượng giác:
  • Tích của hàm mũ và hàm lượng giác:

Suy ra:

hay

3) Nguyên hàm của hàm hợp: Nếu F = F(g) là nguyên hàm của f = f(g)g = g(x) là một hàm liên tục và khả vi trên K thì:

Ví dụ:

Ý nghĩa

Các nguyên hàm có ý nghĩa quan trọng vì chúng được dùng để tính toán các tích phân, sử dụng định lý cơ bản của giải tích: nếu F là một nguyên hàm của f, thì:

Vì lý do này, tập hợp tất cả các nguyên hàm của một hàm f cho trước đôi khi được gọi là tích phân bất định của f và được ký hiệu bằng dấu tích phân, không có các cận:

Nếu F là một nguyên hàm của f, và hàm f xác định trên một khoảng nào đó, thì mọi nguyên hàm G khác của f khác với F bởi một hằng số: tồn tại một số C sao cho G(x) = F(x) + C với mọi x. Nếu tập xác định của F gồm hai hay nhiều khoảng, thì có thể chọn những hằng số khác nhau trên mỗi khoảng. Ví dụ

là nguyên hàm tổng quát nhất của trên tập xác định của nó.

Mọi hàm liên tục f đều có nguyên hàm.

Có nhiều hàm số có nguyên hàm nhưng không thể biểu diễn dưới dạng các hàm sơ cấp. Ví dụ:

Công thức nguyên hàm của một số hàm số cơ bản

Hàm hằng, hàm luỹ thừa:

  • với

Hàm mũ, hàm logarit:

Hàm lượng giác:

Hàm lượng giác ngược:

Các công thức trên vẫn đúng nếu ta thay bằng là hàm liên tục và khả vi trên miền xác định.

Tham khảo

Chú thích

  1. ^ Nguyễn Cam, Nguyễn Văn Phước, tr.184

Danh mục

  • Nguyễn Cam, Nguyễn Văn Phước. Phương pháp giải toán Giải tích 12 theo chương trình mới nhất (Tái bản lần 1). Nhà xuất bản Đại học sư phạm,, Hà Nội 2011.

Read other articles:

Mt. OphirMt. Ophir secara jelas tergambar pada peta dari tahun 1228, gunung ini digambarkan berlokasi di daerah selatan dari Gunung MarapiTitik tertinggiKoordinat0°4′45″N 99°59′0″E / 0.07917°N 99.98333°E / 0.07917; 99.98333 GeografiMt. OphirMount Ophir berlokasi di Sumatera Barat (bagian dari negara modern Indonesia)Tampilkan peta SumatraMt. OphirMt. Ophir (Indonesia)Tampilkan peta IndonesiaPegununganBukit Barisan Mount Ophir (/ˈoʊfər/, terj. 'Gunu...

 

Schema di organizzazione funzionamento di un processo di business intelligence attraverso data warehouse e data mart Con la locuzione business intelligence (BI) ci si può solitamente riferire a: un insieme di processi aziendali per raccogliere dati ed analizzare informazioni strategiche; la tecnologia utilizzata per realizzare questi processi; le informazioni ottenute come risultato di questi processi. Questa espressione è stata coniata nel 1958 da Hans Peter Luhn, ricercatore e inventore t...

 

العلاقات الجيبوتية الغواتيمالية جيبوتي غواتيمالا   جيبوتي   غواتيمالا تعديل مصدري - تعديل   العلاقات الجيبوتية الغواتيمالية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين جيبوتي وغواتيمالا.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدول�...

Синелобый амазон Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:ЗавропсидыКласс:Пт�...

 

Jayachamarajendra Wadiyar BahadurGCB, GCSI Maharaja MysoreBerkuasa1940–1950Penobatan29 Agustus 1940, Istana MysorePendahuluKrishnaraja Wadiyar IVPenerusSrikanta WadiyarKelahiran(1919-07-18)18 Juli 1919Istana Mysore, Mysore, Kerajaan Mysore, IndiaKematian23 September 1974(1974-09-23) (umur 55)Istana Bangalore, Bangalore, IndiaWangsaDinasti WadiyarAyahYuwaraja Kanteerawa Narasimharaja WadiyarIbuYuwarani Kempu Cheluwaja AmanniAnakPutri Gayatri Dewi Awaru, Putri Meenakshi Dewi Awaru, Putri...

 

Ne doit pas être confondu avec Arc des Aléoutiennes. Îles AléoutiennesAleutian Islands / Алеутские острова (mul) Carte des îles Aléoutiennes. Géographie Pays États-Unis Russie Localisation Mer de Béring (océan Pacifique) Coordonnées 52° N, 175° O Superficie 17 666 km2 Nombre d'îles 302 Île(s) principale(s) Unimak, Unalaska, Umnak, Attu, Atka Point culminant Mont Shishaldin (2 869 m sur Unimak) Géologie Arc volcanique...

Baku Cup 2013 Sport Tennis Data 20 - 28 luglio Edizione 4a Superficie Erba Campioni Singolare Elina Svitolina Doppio Iryna Burjačok / Oksana Kalašnikova 2012 2014 Il Baku Cup 2013 è stato un torneo femminile di tennis giocato sul cemento. È stata la 4ª edizione del torneo che fa parte della categoria International nell'ambito del WTA Tour 2013. Si è giocato a Baku in Azerbaigian dal 20 al 28 luglio 2013. Indice 1 Partecipanti 1.1 Teste di serie 1.2 Altre partecipanti 2 Campionesse 2.1 ...

 

Bestie 2Genre Drama Komedi CeritaTisa T. S.SutradaraDinna JasantiPemeran Della Dartyan Valerie Thomas Aurra Kharisma Zack Lee Kenny Austin Negara asalIndonesiaBahasa asliBahasa IndonesiaJmlh. musim2Jmlh. episode8ProduksiProduser eksekutif Sutanto Hartono Monika Rudijino Dian Lasvita Produser Sonu S. Sonya S. Pengaturan kameraMulti-kameraDurasi±40 menitRumah produksiSky FilmsRilis asliJaringanVidioRilis16 Desember 2023 (2023-12-16) –27 Januari 2024 (2024-01-27) Bestie 2 adal...

 

Building in South Africa The article's lead section may need to be rewritten. Please help improve the lead and read the lead layout guide. (December 2017) (Learn how and when to remove this message) The Old Fort The Constitution Hill precinct is located at 11 Kotze Street in Braamfontein, Johannesburg near the western end of the suburb of Hillbrow. Constitution Hill is the seat of the Constitutional Court of South Africa. History The hill was formerly the site of a fort which was later used a...

† Египтопитек Реконструкция внешнего вида египтопитека Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:Четвероно...

 

هذه المقالة يتيمة إذ تصل إليها مقالات أخرى قليلة جدًا. فضلًا، ساعد بإضافة وصلة إليها في مقالات متعلقة بها. (أبريل 2019) آنا آبرو   معلومات شخصية اسم الولادة (بالفنلندية: Anna Eira Margarida Mourão de Melo e Abreu)‏  الميلاد 7 فبراير 1990 (34 سنة)[1]  فانتا  مواطنة فنلندا  الديانة الكني...

 

Yankee SquadronThe No. 56 Chato flown by F. G. TinkerActive1936–1937Country United StatesAllegiance SpainBranchSpanish Republican Air ForceTypeAir Force SquadronSize6Military unit Spanish Civil War Medal awarded to the International Brigades The Yankee Squadron was a group of mercenary American military aviators who flew for the Spanish Republican Air Force during the Spanish Civil War.[1][2][3] History In November 1936, representatives of the Second Spanish Republi...

2018 film directed by Aanand L. Rai ZeroTheatrical release posterDirected byAanand L. RaiWritten byHimanshu SharmaProduced byGauri KhanAanand L. RaiStarringShah Rukh KhanKatrina KaifCinematographyManu AnandEdited byHemal KothariMusic byAjay-AtulTanishk BagchiProductioncompaniesRed Chillies EntertainmentColour Yellow Productions[1]Distributed byPen Marudhar Entertainment and PVR Pictures (India)Eveready Pictures (Pakistan)Zee Studios (Canada)Yash Raj Films (International)[a]Rel...

 

Artikel ini sebatang kara, artinya tidak ada artikel lain yang memiliki pranala balik ke halaman ini.Bantulah menambah pranala ke artikel ini dari artikel yang berhubungan atau coba peralatan pencari pranala.Tag ini diberikan pada Oktober 2022. Pablo Dyego Dyego playing for Djurgården in 2013.Informasi pribadiNama lengkap Pablo Dyego da Silva RosaTanggal lahir 08 Maret 1994 (umur 30)Tempat lahir Rio de Janeiro,[1] BrazilTinggi 174 m (570 ft 10+1⁄2 in)Posisi ...

 

Garden in Srinagar, India Naseem BaghNaseem BaghTypeMughal gardenLocationSrinagar, J&K, IndiaCoordinates34°08′17″N 74°50′17″E / 34.138°N 74.838°E / 34.138; 74.838Area25 hectares (62 acres)Opened1586 A.D. (1586 A.D.)FounderAkbarOwned byJammu and Kashmir Tourism DepartmentOperated byJammu and Kashmir Tourism DepartmentPlantsPlatanus orientalis (Chinars) Naseem Bagh is a Mughal garden built on the northwestern side of the Dal Lake, close to ...

أنجيلابابي 楊穎 أنجيلابابي في عام 2014 معلومات شخصية اسم الولادة (بالصينية المبسطة: 杨颖)‏  الميلاد 28 فبراير 1989 (العمر 35 سنة)شانغهاي، الصين الإقامة هونج كونج مواطنة هونغ كونغ  الزوج هوانغ شياو مينغ (ز. 2015) الأولاد 1 son (nicknamed Little Sponge; born 17 January 2017)[1] الحياة العملية الم...

 

إنليل𒀭𒂗𒆤 تمثال صغير لإنيل جالسًا على عرشه في نفر، يقدّر تاريخه بين 1600 و1800 قبل الميلاد ويعرض اليوم في المتحف العراقي زوجات ننهورساجنينليلارشكيجال  الأب أنو  ذرية نينورتا،  وسين،  وأداد،  وبابيلساغ،  ونيرغال،  ونمتار  تعديل مصدري - تعديل   جزء من سل...

 

MAL Hungarian Aluminium (Hungarian: MAL Magyar Alumínium Termelő és Kereskedelmi Zrt.) was a Hungarian company that was specializing in the production of aluminium and related products. It was established in 1995 during the privatization of the Hungarian aluminium industry. MAL's initial assets were the Bakony bauxite mine, an alumina factory in Ajka and an aluminium smelter in Inota (municipality of Várpalota), all of them in Veszprém County northwestern Hungary.[1] The company...

British crime drama ChancerGenreCrime dramaCreated byGuy AndrewsWritten by Guy Andrews Simon Burke Tony Grounds Directed by Alan Grint Laurence Moody Starring Clive Owen Simon Shepherd Susannah Harker Leslie Phillips Peter Vaughan Ralph Riach Caroline Langrishe Benjamin Whitrow Lynsey Baxter Matthew Marsh Stephen Tompkinson ComposerJan HammerCountry of originUnited KingdomOriginal languageEnglishNo. of series2No. of episodes20 (list of episodes)ProductionExecutive producerTed ChildsProducerSa...

 

Educational building of Durham University in Durham, England Lower Mountjoy Teaching and Learning CentreGeneral informationArchitectural style Contemporary complementary AddressSouth Road, Durham, DH1 3LSTown or cityDurhamCountryEnglandCoordinates54°46′02″N 1°34′34″W / 54.7672°N 1.5762°W / 54.7672; -1.5762Elevation66.0 metres (216.5 ft)Construction started14 December 2017Completed17 September 2019Inaugurated9 December 2019Cost£25 millionOwnerDurham Un...