Trong giải tích, tích phân bất định của một hàm cho trước (hay là tập tất cả nguyên hàm) trên miền liên thông chỉ được định nghĩa bằng cách thêm một hằng số cộng, gọi là hằng số tích phân.^[1][2] Hằng số này biểu thị sự liên quan giữa tích phân bất định và nguyên hàm. Nếu hàm ${\displaystyle f(x)}$ xác định trên một khoảng và ${\displaystyle F(x)}$ là nguyên hàm của ${\displaystyle f(x)}$ thì tập tất cả nguyên hàm của ${\displaystyle f(x)}$ được cho bởi công thức ${\displaystyle F(x)+C}$ với ${\displaystyle C}$ là một hằng số bất kỳ (nghĩa là bất kỳ giá trị ${\displaystyle C}$ nào sao cho ${\displaystyle F(x)+C}$ là nguyên hàm hợp lệ). Đôi khi để đơn giản người ta lược bỏ hằng số tích phân trong danh sách tích phân.

Đạo hàm của hàm hằng bất kỳ là bằng 0. Khi biết một nguyên hàm ${\displaystyle F(x)}$ của ${\displaystyle f(x)}$ thì cộng hay trừ hằng số bất kỳ ${\displaystyle C}$ với nguyên hàm trên sẽ cho ta các nguyên hàm khác, do ${\displaystyle {\displaystyle (F(x)+C)'=F\,'(x)+C\,'=F\,'(x)}}$. Hằng số tích phân là cách biểu diễn một nguyên hàm bất kỳ trong vô hạn các nguyên hàm của hàm số.

Giả sử ta muốn tìm các nguyên hàm của ${\displaystyle \cos(x)}$. Một nguyên hàm là ${\displaystyle \sin(x)}$. Một nguyên hàm khác là ${\displaystyle \sin(x)+1}$. Một nguyên hàm thứ ba là ${\displaystyle \sin(x)+\pi }$. Mỗi nguyên hàm đều có đạo hàm là ${\displaystyle \cos(x)}$ do đó chúng đều là nguyên hàm của ${\displaystyle \cos(x)}$.

Hằng số tích phân là một cách để biễu diễn các nguyên hàm khác nhau của cùng một hàm. Có nghĩa là tất cả nguyên hàm chỉ sai khác nhau một hằng số. Để biểu diễn tất cả nguyên hàm của ${\displaystyle \cos(x)}$, ta viết:

${\displaystyle \int \cos(x)\,dx=\sin(x)+C.}$

Thay ${\displaystyle C}$ bởi một số sẽ sinh ra một nguyên hàm. Bằng cách viết ${\displaystyle C}$ thay vì một số cụ thể, ta biểu thị ngắn gọn tất cả các nguyên hàm có thể có của ${\displaystyle \cos(x)}$. ${\displaystyle C}$ được gọi là hằng số tích phân. Dễ dàng chứng minh tất cả các hàm này là nguyên hàm của ${\displaystyle \cos(x)}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}[\sin(x)+C]&={\frac {d}{dx}}[\sin(x)]+{\frac {d}{dx}}[C]\\&=\cos(x)+0\\&=\cos(x)\end{aligned}}}$

Tuy hằng số tích phân trông có vẻ không cần thiết vì ta có thể đặt hằng số bằng 0. Hơn nữa khi tính tích phân xác định bằng cách sử dụng định lý cơ bản của giải tích, hằng số luôn bị triệt tiêu.

Tuy nhiên, đặt hằng số bằng 0 không phải lúc nào cũng thích hợp. Ví dụ hàm ${\displaystyle 2\sin(x)\cos(x)}$ có thể có ít nhất ba dạng nguyên hàm khác nhau:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-\cos ^{2}(x)+C&=&\sin ^{2}(x)-1+C&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C\\\int 2\sin(x)\cos(x)\,dx&=&-{\frac {1}{2}}\cos(2x)+C&=&\sin ^{2}(x)+C&=&-\cos ^{2}(x)+C\end{aligned}}}$

Vì vậy, nếu ${\displaystyle C}$ bằng 0 thì vẫn còn lại một hằng số. Nghĩa là với một hàm số cho trước, không có "nguyên hàm đơn giản nhất".

Một vấn đề khác nếu đặt ${\displaystyle C}$ bằng 0 đó là đôi khi ta muốn tìm nguyên hàm có giá trị cho trước tại một điểm xác định (như trong bài toán giá trị khởi đầu). Ví dụ, để tìm nguyên hàm của ${\displaystyle \cos(x)}$ có giá trị 100 tại ${\displaystyle x=\pi }$ thì chỉ có một giá trị của ${\displaystyle C}$ thỏa mãn (trong trường hợp này ${\displaystyle C=100}$).

Hạn chế này được diễn tả theo ngôn ngữ của phương trình vi phân. Tìm tích phân bất định của hàm ${\displaystyle f(x)}$ cũng tương tự bài toán giải phương trình vi phân ${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=f(x)}$. Phương trình vi phân nào cũng có nhiều đáp án, mỗi hằng số tích phân đại diện cho một đáp án duy nhất của bài toán giá trị ban đầu thỏa mãn ba tiêu chuẩn Hadamard. Việc áp đặt điều kiện để nguyên hàm có giá trị 100 tại ${\displaystyle x=\pi }$ chính là một điều kiện ban đầu. Mỗi điều kiện ban đầu tương ứng với một và chỉ có một giá trị của C, cho nên nếu không có C sẽ không thể giải được bài toán.

Có một cách biện luận khác xuất phát từ đại số trừu tượng. Không gian của tất cả các hàm giá trị thực (thích hợp) trên tập số thực là một không gian vector với toán tử vi phân ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ chính là toán tử tuyến tính. Toán tử ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ ánh xạ đến một hàm bằng 0 khi và chỉ khi hàm đó là hàm hằng. Do đó hạt nhân của ${\displaystyle {\frac {d}{dx}}}$ là không gian của tất cả các hàm hằng. Quá trình tích phân bất định có mục tiêu là tìm tiền ảnh của hàm cho trước. Không có tiền ảnh chính tắc nào của một hàm cho trước nào nhưng tập của tất cả các tiền ảnh có dạng coset. Việc chọn một hằng số tương tự như việc chọn một phần tử của coset. Trong bối cảnh này việc giải bài toán giá trị ban đầu được ngẩm hiểu nằm trong siêu phẳng cho trước bởi điều kiện ban đầu.

Phát biểu: Cho ${\displaystyle F:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }}$ và ${\displaystyle G:{\mathbb {R} }\rightarrow {\mathbb {R} }}$ là 2 hàm khả vi tại mọi điểm. Giả sử ${\displaystyle F\,'(x)=G\,'(x)}$ với mọi số thực x thì tồn tại một số thực ${\displaystyle C}$ sao cho ${\displaystyle F(x)-G(x)=C}$ với mọi số thực x.

Để chứng minh điều này, lưu ý rằng ${\displaystyle [F(x)-G(x)]'=0}$. Do vậy có thể thế ${\displaystyle F}$ với ${\displaystyle F-G}$ và ${\displaystyle G}$ bằng hàm hằng 0, bài toán trở thành chứng minh rằng một hàm khả vi tại mọi điểm mà có đạo hàm luôn bằng 0 phải là hàm hằng:

Chọn số thực a, và đặt ${\displaystyle C=F(a)}$. Theo định lý cơ bản của giải tích, với x bất kỳ cùng với giả định rằng đạo hàm của ${\displaystyle F}$ bằng 0, suy ra

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{a}^{x}F'(t)\,dt\\&=F(x)-F(a)\\&=F(x)-C,\end{aligned}}}$

từ đó ${\displaystyle F(x)=C}$. Vậy ${\displaystyle F}$ là hàm hằng.

Có 2 sự thật rất quan trọng trong chứng minh này. Sự thật đầu tiên, trục số thực là liên thông. Nếu trục số thực không liên thông, ta không thể lấy tích phân từ điểm thực a cố đinh đến điểm x bất kỳ. Ví dụ nếu ta yêu cầu các hàm xác định trên hợp của các khoảng [0,1] và [2,3], khi ${\displaystyle a=0}$ thì không có tích phần trong khoảng 0 đến 3 do hàm không xác định trong khoảng 1 đến 2. Từ đó sẽ có 2 hằng số, mỗi hằng số cho mỗi tập liên thông của tập xác định. Tổng quát, nếu ta thay các hằng số này bằng các hàm hằng cục bộ, ta có thể mở rộng định lý này cho các tập xác định không liên hợp. Cho ví dụ, có 2 hằng số tích phân của ${\displaystyle \textstyle \int dx/x}$ và vô hạn hằng số của${\displaystyle \textstyle \int \tan x\,dx,}$ do đó dạng tổng quát của tích phân ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{x}}}$ là:^[3][4]

${\displaystyle \int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}}$

Sự thật thứ 2, ${\displaystyle F}$ và ${\displaystyle G}$ được coi là khả vi tại mọi điểm. Nếu ${\displaystyle F}$ và ${\displaystyle G}$ không có vi phân dù tại chỉ 1 điểm thì định lý trên sẽ sụp đổ. Ví dụ, cho ${\displaystyle F(x)}$ là hàm bước Heaviside bằng 0 nếu x âm và bằng 1 nếu x không âm, đặt ${\displaystyle G(x)=0}$. Thì đạo hàm của ${\displaystyle F}$ bằng 0 khi hàm xác định và đạo hàm của ${\displaystyle G}$ luôn bằng 0. Rõ ràng rằng ${\displaystyle F}$ và ${\displaystyle G}$ không sai khác nhau qua hằng số. Thậm chí nếu ${\displaystyle F}$ và ${\displaystyle G}$ liên tục tại mọi điểm và hầu như khả vi tại mọi điểm thì định lý cũng sụp đổ. Ví dụ khác, cho ${\displaystyle F}$ là hàm Cantor và đặt ${\displaystyle G=0}$.