Hàm bước

Trong toán học, một hàm số trên tập số thực được gọi là hàm bước (hoặc hàm bậc thang) nếu nó có thể được viết dưới dạng một tổ hợp tuyến tính hữu hạn của các hàm chỉ thị trên một số khoảng. Nói đơn giản, một hàm bước là một hàm hằng trên hữu hạn khoảng.

Định nghĩa và hệ quả

Một hàm số $f\colon \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ được gọi là một hàm bước nếu nó có thể được viết dưới dạng^[1]

f(x)=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}(x)\

với mọi số thực

x

trong đó $n \geq 0$ và $α i$ là các số thực, $A i$ là các khoảng còn $χ A$ là hàm chỉ thị của $A$ :

\chi _{A}(x)={\begin{cases}1&\mathrm {n{\acute {\hat {e}}}u} \,x\in A,\\0&\mathrm {n{\acute {\hat {e}}}u} \,x\notin A.\\\end{cases}}

Trong định nghĩa này, các khoảng $A i$ có thể được giả sử là có hai tính chất sau:

Các khoảng rời nhau từng đôi một: $A i \cap A j = \emptyset$ với mọi $i \neq j$
Hợp của những khoảng này là toàn bộ đường thẳng số thực: $\bigcup _{i=0}^{n}A_{i}=\mathbb {R}$ .

Nói các khác, các khoảng $A i$ là một phân hoạch của tập số thực.

Ví dụ

Một hàm hằng là một ví dụ tầm thường của hàm bước. Chỉ có một khoảng là $A 0 = R$ .
Hàm signum $sgn(x)$ bằng $-1$ với số âm và $+1$ với số dương, là một ví dụ đơn giản nhất về một hàm bước khác hằng.
Hàm Heaviside $H (x)$ , bằng $0$ cho số âm và $1$ cho số dương, tương đương với hàm signum nhưng được dịch lên và thu nhỏ ( $H = (sgn + 1)/2$ ). Nó là ý nghĩa toán học đằng một số bài kiểm tra tín hiệu, ví dụ như là để xác định đáp ứng bước của một hệ thống động lực.

Hàm chữ nhật, còn gọi là hàm rect, được dùng để mô tả một xung đơn vị.

Không phải ví dụ

Hàm phần nguyên không phải là một hàm bước theo định nghĩa trên vì nó có vô hạn khoảng. Tuy nhiên, một số tác giả cũng coi hàm với số khoảng vô hạn như thế là hàm bước.^[2]

Tính chất

Tổng và tích của hai hàm bước là một hàm bước. Tích của một hàm bước với một số cũng là một hàm bước. Do đó, các hàm bước tạo thành một đại số trên trường số thực.
Tích phân xác định của một hàm bước là một hàm bậc nhất theo từng khoảng.
Tích phân Lebesgue của một hàm bước $\textstyle f=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\chi _{A_{i}}$ là

\int f(x)\,dx=\sum \limits _{i=0}^{n}\alpha _{i}\ell (A_{i}),\,

trong đó $\ell (A)$ là độ dài của khoảng $A$ và các khoảng ở đây được giả sử là có độ dài hữu hạn. Thực tế, đẳng thức này (nếu xem là định nghĩa) có thể được dùng để xây dựng tích phân Lebesgue.^[3]

Một biến ngẫu nhiên rời rạc được định nghĩa là một biến ngẫu nhiên có hàm phân phối tích lũy là hằng theo từng khoảng, tức là một hàm bước.^[4]

Xem thêm

Tham khảo

^ Weisstein, Eric W., "Step Function" từ MathWorld.
^ Bachman, Narici, Beckenstein (2000). “Example 7.2.2”. Fourier and Wavelet Analysis. Springer, New York, 2000. ISBN 0-387-98899-8.Quản lý CS1: nhiều tên: danh sách tác giả (liên kết)
^ Weir, Alan J (1973). “3”. Lebesgue integration and measure. Cambridge University Press, 1973. ISBN 0-521-09751-7.
^ Bertsekas, Dimitri P. (2002). Introduction to Probability. Tsitsiklis, John N., Τσιτσικλής, Γιάννης Ν. Belmont, Massachusetts: Athena Scientific. ISBN 188652940X. OCLC 51441829.

Read other articles:

Nenekku Menitip Salam dan Meminta Maaf

Nenekku Menitip Salam dan Meminta Maaf Sampul edisi Indonesia.PengarangFredrik BackmanJudul asliMin mormor hälsar och säger förlåtPenerjemahHenning KochNegara SwediaBahasaInggrisGenreNovelPenerbitWashington Square Press (US)Tanggal terbit2013 Swedia 2015 Amerika SerikatJenis mediaPrintHalaman400 pp (Amerika Serikat)ISBNISBN 1501115073 Nenekku Menitip Salam dan Meminta Maaf (diterbitkan di Inggris dengan judul My Grandmother Sends her Regards and Apologises) adalah sebu...

Kerusakan total

Bagian dari seriKalvinismeYohanes Kalvin Latar Belakang Kekristenan Reformasi Protestan Protestantisme Teologi Teologi Yohanes Kalvin Teologi Perjanjian Pembaptisan Perjamuan Kudus Asas-Asas Regulatif Predestinasi Skolastisisme Teolog Hulderikus Zwingli Martinus Bucer Petrus Martir Vermigli Henrikus Bullinger Yohanes Kalvin Yohanes Knox Teodorus Beza Zacharias Ursinus Caspar Olevianus Guido de Bres Francis Turretin Jonathan Edwards Friedrich Schleiermacher Charles Hodge Herman Bavinck Karl Ba...

Basford United F.C.

Basford UnitedNama lengkapBasford United Football ClubBerdiri1900StadionGreenwich Avenue, Basford(Kapasitas: 1,600[1])KetuaChris MunroeManajerSteve ChettleLigaLiga Utara Inggris Kostum kandang Kostum tandang Basford United Football Club adalah klub sepak bola yang berbasis di Basford, pinggiran kota Nottingham, Inggris. Mereka saat ini adalah anggota Divisi Premier League Utara dan bermain di Greenwich Avenue. Referensi ^ Introducing Basford United Chesterfield F.C. Artikel bertopik s...

China Global Television Network

CGTN beralih ke halaman ini. Untuk saluran televisi berita berbahasa Inggris, lihat CGTN (saluran televisi). China Global Television NetworkJenisJaringan televisiMerekCGTNNegara Republik Rakyat TiongkokJangkauanGlobalSloganSee the difference. ([Amati perbedaan.] Error: {{Lang-xx}}: text has italic markup (help))MarkasKantor Pusat CCTV, Beijing, TiongkokPemilikChina Central TelevisionTanggal luncur31 Desember 2016; 7 tahun lalu (2016-12-31)Situs resmiwww.cgtn.com China Global Televis...

Placental insufficiency

Medical conditionPlacental insufficiencyOther namesUtero-placental insufficiencySpecialtyNeonatology, obstetrics, maternal–fetal medicine Placental insufficiency or utero-placental insufficiency is the failure of the placenta to deliver sufficient nutrients to the fetus during pregnancy, and is often a result of insufficient blood flow to the placenta. The term is also sometimes used to designate late decelerations of fetal heart rate as measured by cardiotocography or an NST, even if...

John George Vlazny

American prelate of the Catholic Church (born 1937) His Excellency, The Most ReverendJohn George VlaznyArchbishop Emeritus of Portland in OregonArchdiocesePortland in OregonAppointedOctober 28, 1997InstalledDecember 19, 1997RetiredJanuary 29, 2013PredecessorFrancis George, OMISuccessorAlexander King SampleOrdersOrdinationDecember 20, 1961by Martin John O’ConnorConsecrationDecember 13, 1983by Joseph Bernardin, Alfred Leo Abramowicz, and Nevin William HayesPersonal detailsBorn (1937...

Pierre-Joseph Proudhon

Pour les articles homonymes, voir Proudhon. Pierre-Joseph ProudhonPortrait photographique par Nadar (1862).Naissance 15 janvier 1809 (Premier Empire)Besançon (France)Décès 19 janvier 1865 (à 56 ans)Paris 16e (France)Sépulture Cimetière du MontparnasseNationalité FrançaiseÉcole/tradition Socialisme libertaire, SocialismePrincipaux intérêts Politique, économie, histoireIdées remarquables Anarchie, MutuellismeŒuvres principales Qu'est-ce que la propriété ?Influencé pa...

Ay (Marna)

Aycomune Ay – Veduta LocalizzazioneStato Francia RegioneGrand Est Dipartimento Marna ArrondissementÉpernay CantoneÉpernay-1 TerritorioCoordinate49°03′N 4°00′E / 49.05°N 4°E49.05; 4 (Ay)Coordinate: 49°03′N 4°00′E / 49.05°N 4°E49.05; 4 (Ay) Altitudine76 m s.l.m. Superficie10,43 km² Abitanti4 172[1] (2009) Densità400 ab./km² Altre informazioniCod. postale51160 e 51150 Fuso orarioUTC+1 Codice INSEE510...

コルク

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）出典検索?: コルク – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2017年4月）コルクを打ち抜いて作った瓶の栓コルク（木栓、�...

العلاقات الغرينادية الليبيرية

العلاقات الغرينادية الليبيرية غرينادا ليبيريا غرينادا ليبيريا تعديل مصدري - تعديل العلاقات الغرينادية الليبيرية هي العلاقات الثنائية التي تجمع بين غرينادا وليبيريا.[1][2][3][4][5] مقارنة بين البلدين هذه مقارنة عامة ومرجعية للدولتين: وجه ...

Chuwar, Queensland

Map all coordinates using OpenStreetMap Download coordinates as: KML GPX (all coordinates) GPX (primary coordinates) GPX (secondary coordinates) Town in Queensland, AustraliaChuwarIpswich, QueenslandWelcome to Ipswich sign, 2010ChuwarCoordinates27°34′06″S 152°47′49″E / 27.5683°S 152.7969°E / -27.5683; 152.7969 (Chuwar (town centre))Population2,244 (2016 census)[1] • Density252.1/km2 (653/sq mi)Postcode(s)4306Area8.9...

Jembatan Fatih Sultan Mehmet

Halaman ini berisi artikel tentang jembatan di Istanbul. Untuk jembatan di Edirne, lihat Jembatan Fatih. Jembatan Fatih Sultan MehmetJembatan Fatih Sultan Mehmet (1988) di Istanbul, menghubungkan Eropa dan Asia.Koordinat41°05′N 29°04′E / 41.09°N 29.06°E / 41.09; 29.06Moda transportasi8 jalan kendaraan bermotor MelintasiSelat BosporusLokalIstanbulNama resmiFatih Sultan Mehmet KöprüsüPengelolaJalan Tol Negara TurkiSebelumnyaJembatan BosphorusKarakteristik...

Lake Dardanelle

Reservoir in ArkansasLake DardanelleLake Dardanelle, looking northeast from State Highway 22 near Delaware in 2013.Lake DardanelleLocationArkansasCoordinates35°20′24″N 93°20′15″W / 35.34000°N 93.33750°W / 35.34000; -93.33750TypereservoirPrimary inflowsArkansas RiverPrimary outflowsArkansas RiverBasin countriesUnited StatesMax. length50 mi (80 km)Surface area40,000 acres (160 km2)Shore length1315 mi (510 km)Surface elevation338&...

George Devereux

Hungarian-French ethnologist For other people named George Devereux, see George Devereux (disambiguation). Portrait Part of a series onMedical and psychologicalanthropology Basic concepts Health Culture-bound syndrome Double bind Case studies Navajo medicine Related articles Nutritional anthropology Psychological anthropology Cognitive anthropology Transpersonal anthropology Ethnomedicine Clinical ethnography Critical medical anthropology Cross-cultural psychiatry Person-centered ethnography ...

Armando Diaz

Disambiguazione – Se stai cercando altri significati, vedi Armando Diaz (disambigua). Armando Diaz Capo di stato maggiore dell'Esercito ItalianoDurata mandato9 novembre 1917 –24 novembre 1919 MonarcaVittorio Emanuele III d'Italia PredecessoreLuigi Cadorna SuccessorePietro Badoglio Ministro della Guerra del Regno d'ItaliaDurata mandato31 ottobre 1922 –30 aprile 1924 PresidenteBenito Mussolini PredecessoreMarcello Soleri SuccessoreAntonino Di Giorgio Senatore ...

Pop Idol

British music competition television series This article is about the British television series. For the Idol franchise, see Idol (franchise). For popular culture icons in general, see pop icon. Pop IdolGenreReality competitionCreated bySimon FullerDeveloped byNigel Lythgoe (uncredited)Presented byAnt McPartlinDeclan DonnellyJudgesNeil FoxNicki ChapmanPete WatermanSimon CowellComposersCathy DennisJulian GingellBarry StoneCountry of originUnited KingdomOriginal languageEnglishNo. of series2No....

Libio Severo

Libio Severo Solidus de Libio Severo Emperador del Imperio romano de Occidente Noviembre de 461-agosto de 465Predecesor MayorianoSucesor Procopio Antemio Información personalNombre en latín Libius Severus Nacimiento Hacia 420Lucania, ItaliaFallecimiento 15 de agosto de 465Roma (Imperio romano de Occidente) Información profesionalOcupación Político [editar datos en Wikidata] Libio Severo (en latín: Libius Severus; c. 420 -15 de agosto de 465), a veces llamado Severo III,[1]R...

1923年イギリス総選挙

英国議会議事堂（ビッグ・ベン） 1923年イギリス総選挙（1923ねんイギリスそうせんきょ、英語：United Kingdom general election of 1923）は、1923年12月に行われたイギリスの選挙で、イギリス議会（正式名称：グレートブリテン及び北アイルランド連合王国議会）の議員を選出するために行われたものである。概要ボールドウィン首相選挙当時の首相：スタンリー・ボールドウ�...

Newton (South Lanarkshire) rail accident

Newton Rail CrashDetailsDate21 July 1991Locationnear Newton, South LanarkshireCountryScotlandLineArgyle Line/Cathcart Circle LineStrathclyde Passenger Transport(West Coast Main Line)CauseSPAD, inadequate junction layoutStatisticsTrains2Deaths4Injured22List of UK rail accidents by year On 21 July 1991, two commuter trains crashed just west of Newton railway station in Cambuslang, near Glasgow, Scotland. The junction had been remodelled in the month previous to the crash. Accident At 21.55, tr...

Bassin du Mississippi

Bassin du Mississippi Situation Carte schématique du bassin du Mississippi Pays Canada, États-Unis Caractéristiques Déversoir Golfe du Mexique Principaux cours d'eau Mississippi, Missouri, Arkansas, Canadian, Cimarron, James, Milk, Ohio, Platte, Rouge du Sud, White, Yellowstone Superficie 3 238 000 km2 modifier Le bassin hydrographique du Mississippi est le plus grand d'Amérique du Nord et le troisième du monde, derrière celui de l'Amazone et du Congo. Sa superfic...