Chứng minh 22/7 lớn hơn π

Các chứng minh về mặt toán học rằng số hữu tỷ 22/7 là lớn hơn $π$ (pi) đã có từ thời cổ đại. Một trong những chứng minh này, được phát triển gần đây nhưng chỉ yêu cầu các kỹ thuật cơ bản của tích phân, đã thu hút sự chú ý trong toán học hiện đại do vẻ đẹp toán học của nó và các mối liên hệ của nó với lý thuyết về xấp xỉ diophantine. Stephen Lucas gọi chứng minh này là "một trong những kết quả đẹp đẽ liên quan đến xấp xỉ $π$ ". Julian Havil kết thúc một cuộc thảo luận về các xấp xỉ phân số tiếp tục của $π$ với kết quả, mô tả nó là "không thể cưỡng lại việc đề cập" đến chứng minh này trong bối cảnh trên.^[1]

Mục đích của các bằng chứng không phải là chủ yếu để thuyết phục các độc giả rằng 22/7 là thực sự lớn hơn $π$ ; phương pháp hệ thống tính toán giá trị của $π$ tồn tại. Nếu biết rằng $π$ là xấp xỉ 3,14159, thì có thể dễ dàng suy ra $π$ < 22/7 vì số này khoảng 3,142857. Nhưng phải mất ít nhiều công sức để chứng minh rằng $π$ < 22/7 theo phương pháp được sử dụng trong chứng minh này hơn để chứng minh rằng $π$ là xấp xỉ 3.14159.

Bối cảnh

22/7 là một số Diophantine xấp xỉ của $π$ được sử dụng rộng rãi. Nó là một điểm hội tụ trong việc mở rộng liên phân số liên tục đơn giản của $π$ . Nó lớn hơn $π$ , như có thể dễ dàng nhìn thấy trong phần mở rộng thập phân của các giá trị này:

{\begin{aligned}{\frac {22}{7}}&=3.{\overline {142\,857}},\\\pi \,&=3.141\,592\,65\ldots \end{aligned}}

Giá trị gần đúng này đã được biết đến từ thời cổ đại. Archimedes đã viết những chứng minh đầu tiên được biết đến, rằng 22/7 là một ước lượng cận trên của pi trong TCN thế kỷ thứ 3, mặc dù ông có thể không phải là người đầu tiên sử dụng tỷ lệ xấp xỉ này. Chứng minh của ông là bằng cách hiển thị rằng 22/7 là lớn hơn tỷ số giữa chu vi của một đường tròn ngoại tiếp đa giác đều 96 cạnh và đường kính của vòng tròn. ^{[note 1]}

Chứng minh

Chứng minh này có thể được thể hiện rất ngắn gọn như sau:

0<\int _{0}^{1}{\frac {x^{4}\left(1-x\right)^{4}}{1+x^{2}}}\,dx={\frac {22}{7}}-\pi .

Do đó, 22/7 > $π$ .

Việc đánh giá tích phân này là bài toán đầu tiên trong Cuộc thi toán Putnam năm 1968.^[3] Nó dễ hơn hầu hết các bài toán cạnh tranh của Putnam, nhưng cuộc thi thường có các bài toán dường như tối nghĩa hóa ra lại đề cập đến một cái gì đó rất quen thuộc. Tích phân này cũng đã được sử dụng trong các kỳ thi tuyển sinh của Viện Công nghệ Ấn Độ.^[4]

Chú thích

^ Proposition 3: The ratio of the circumference of any circle to its diameter is less than 3+1/7 but greater than 3+10/71.^[2]

Tham khảo

^ , ISBN 0-691-09983-9 |title= trống hay bị thiếu (trợ giúp)
^ Archimedes (2002) [1897], “Measurement of a circle”, trong Heath, T.L. (biên tập), The Works of Archimedes, Dover Publications, tr. 93–96, ISBN 0-486-42084-1
^ Gerald L. Alexanderson (biên tập), ISBN 0-88385-463-5 |title= trống hay bị thiếu (trợ giúp)
^ 2010 IIT Joint Entrance Exam ^{[liên kết hỏng]}, question 38 on page 15 of the mathematics section.

Bài viết liên quan đến toán học này vẫn còn sơ khai. Bạn có thể giúp Wikipedia mở rộng nội dung để bài được hoàn chỉnh hơn.

Read other articles:

Bryan Oviedo

Bryan Oviedo Oviedo bermain untuk Everton pada 2016Informasi pribadiNama lengkap Bryan Josué Oviedo JiménezTanggal lahir 18 Februari 1990 (umur 34)Tempat lahir Ciudad Quesada, Kosta RikaTinggi 1,72 m (5 ft 7+1⁄2 in)Posisi bermain Bek kiri, Gelandang kiriInformasi klubKlub saat ini Real Salt LakeNomor 3Karier junior SaprissaKarier senior*Tahun Tim Tampil (Gol)2009 Saprissa 7 (0)2010–2012 Copenhagen 30 (2)2011 → Nordsjælland (pinjaman) 14 (0)2012–2017 Everton...

Bahasa Yunani Koine Yahudi

Cari artikel bahasa Cari berdasarkan kode ISO 639 (Uji coba) Kolom pencarian ini hanya didukung oleh beberapa antarmuka Halaman bahasa acak Bahasa Yunani Koine YahudiPapirus 46 adalah salah satu naskah Perjanjian Baru tertua yang masih ada dalam bahasa Yunani, ditulis di atas papirus, kemungkinan ditulis antara tahun 175 dan 225 WilayahTimur TengahEraabad ke-2 SM hingga ke-7 M[1] Rumpun bahasaIndo-Eropa HelenikYunaniYunani Attika–IoniaYunani KoineYunani Koine Yahudi Sist...

История КНДР

История Кореи Доисторическая Корея Кочосон, Чингук Ранние корейские государства: Пуё, Окчо, Тонокчо, Е, Тонъе, Пёнхан, Чинхан, Махан,Четыре ханьских округа Три корейских государства: Когурё Пэкче Силла Конфедерация Кая Поздние три корейские государства Позд...

Hong Bao

Pelayaran ke-7 armada Cheng Ho. Rute yang memungkinkan dari skuadron Hong Bao ditampilkan sebagai garis putus-putus, berdasarkan pada analisis oleh Edward L. Dreyer.[1] Hong Bao (Hanzi: 洪保; sekitar 1412–1433) adalah seorang kasim Tiongkok yang dikirim ke misi diplomatik seberang laut pada masa pemerintahan Kaisar Yongle dan Kaisar Xuande pada zaman dinasti Ming. Ia dikenal sebagai komandan salah satu skuadron detasemen armada Cheng Ho pada pelayaran ketujuh armada ini ke Sam...

The Silenced

The SilencedPoster internasional untuk The SilencedSutradaraLee Hae-youngProduserKim Jho Gwangsoo Shim Hyun-wooDitulis olehLee Hae-youngPemeranPark Bo-young Uhm Ji-won Park So-damPenata musikDalparanSinematograferKim Il-yeonPenyuntingKim Chang-juPerusahaanproduksiThe Secret Garden Generation Blue FilmsDistributorLotte Entertainment[1][2]Tanggal rilis 18 Juni 2015 (2015-06-18) Durasi99 menitNegaraKorea SelatanBahasaKoreaPendapatankotorUS$2,358,209[3] The Sile...

Hull Kingston Rovers

English professional rugby league club Hull Kingston RoversClub informationFull nameHull Kingston Rovers Rugby Football ClubNickname(s)The RobinsRoversKRShort nameHull KRColoursRed and whiteFounded1882; 142 years ago (1882) (as Kingston Amateurs)Websitehullkr.co.ukCurrent detailsGround(s)Craven Park (12,225)ChairmanPaul SewellCoach Willie PetersCompetitionSuper League2023 seasonRegular Season; 4thPlayoffs; Semi Finals; (lost 12-42 Vs Wigan Warriors) Current seasonUniforms Ho...

نشيد دوري أبطال أوروبا

نشيد دوري أبطال أوروبا أغنية دوري أبطال أوروبا الفنان دوري أبطال أوروبا تاريخ الإصدار 1992 اللغة إنجليزية، فرنسية، ألمانية الكاتب توني بريتن تلحين جورج فريدريك هاندل إنتاج الاتحاد الأوروبي لكرة القدم تعديل مصدري - تعديل نشيد دوري أبطال أوروبا (بالإنجليزية: UEFA Champ...

Direktorat Intelijen Utama

GRU Generalnogo ShtabaGlavnoje Razvedyvatel'noje UpravlenijeГлавное Разведывательное УправлениеGRU Official emblem (since 2009)Informasi lembagaDibentukNovember 5, 1918, GRU since 1942Nomenklatur lembaga sebelumnya5th Department of the Russian Imperial Chief of StaffWilayah hukumPresident of RussiaKantor pusatKhoroshevskoye shosse 76, Khodinka, Moscow55°46′49.41″N 37°31′21.51″E / 55.7803917°N 37.5226417°E / 55.7803917; 37.52...

Человек прямоходящий

† Человек прямоходящий Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:ВторичноротыеТип:ХордовыеПодтип:ПозвоночныеИнфратип:ЧелюстноротыеНадкласс:ЧетвероногиеКлада:АмниотыКлада:Синапсиды�...

コルク

この記事は検証可能な参考文献や出典が全く示されていないか、不十分です。出典を追加して記事の信頼性向上にご協力ください。（このテンプレートの使い方）出典検索?: コルク – ニュース · 書籍 · スカラー · CiNii · J-STAGE · NDL · dlib.jp · ジャパンサーチ · TWL（2017年4月）コルクを打ち抜いて作った瓶の栓コルク（木栓、�...

Lauren Conrad

American television personality, author, and fashion designer (born 1986) Lauren ConradConrad at the 6th Annual Hollywood Style Awards in October 2009BornLauren Katherine Conrad (1986-02-01) February 1, 1986 (age 38)Laguna Beach, California, U.S.Alma materAcademy of Art University (attended)Fashion Institute of Design & Merchandising (attended)Occupations Television personality fashion designer author Years active2003–presentTelevision Laguna Beach: The Real Orange County...

Concours

Cet article possède un paronyme, voir Goncourt. Arènes de Morlanne lors du concours landais 2019 Un concours est un ensemble d'épreuves mettant en compétition des candidats pour accéder à des emplois, des places d'élèves ou d'étudiants et d'autres avantages publics, mais aussi à des marchés, des récompenses ou des prix[1]. Il peut mettre en compétition aussi bien des individus que des groupes, voire des entreprises ou même des produits. Il peut être organisé par une administr...

Beverly Wilshire Hotel

United States historic placeBeverly Wilshire HotelU.S. National Register of Historic Places The Beverly Wilshire Hotel in 2007Show map of the Los Angeles metropolitan areaShow map of the United StatesLocationBeverly Hills, California, USACoordinates34°4′1″N 118°24′3″W / 34.06694°N 118.40083°W / 34.06694; -118.40083Built1928ArchitectWalker & Eisen[1]NRHP reference No.87000908[1]Added to NRHPJune 12, 1987 The Beverly Wilshire, A ...

Heaven Shall Burn

German metal band Heaven Shall BurnGuitarist Maik Weichert and vocalist Marcus Bischoff performing at Deichbrand 2014Background informationAlso known asBefore The Fall (1995–1998)OriginSaalfeld, GermanyGenres Melodic death metal metalcore deathcore Years active1995 (1995)–presentLabels Lifeforce Century Media Members Maik Weichert Marcus Bischoff Eric Bischoff Alexander Dietz Christian Bass Past members Michael Hartmann Patrick Schleitzer Matthias Voigt Websiteheavenshallburn.com He...

Juan Manuel Gárate

Spanish cyclist In this Spanish name, the first or paternal surname is Gárate and the second or maternal family name is Cepa. Juan Manuel GárateGárate at the 2011 Critérium du DauphinéPersonal informationFull nameJuan Manuel Gárate CepaBorn (1976-04-24) 24 April 1976 (age 48)Irun, SpainHeight1.74 m (5 ft 9 in)Weight62 kg (137 lb)Team informationDisciplineRoadRoleRiderRider typeClimberProfessional teams2000–2004Lampre–Daikin2005Saunier ...

國立草屯高級商工職業學校

國立草屯高級商工職業學校國立草屯高級商工職業學校地址54253 南投縣草屯鎮芬草路二段736號经纬度23°59′43″N 120°39′57″E / 23.9953225°N 120.6657178°E / 23.9953225; 120.6657178邮政编码542其它名称National Caotun Commercial & Industrial Vocational Senior High School类型技術型高級中等學校创办日期1955年臺灣省立台中商業職業學校草屯分校学区中華民國南投縣草屯鎮学校编...

Chile–United States relations

Bilateral relationsChilean–American relations Chile United States Diplomatic missionEmbassy of Chile, Washington, D.C.Embassy of the United States, SantiagoEnvoyChilean Ambassador to the United States Juan Gabriel ValdésAmerican Ambassador to Chile Bernadette M. Meehan Chilean President Gabriel Boric with U.S. President Joe Biden at the Summit of the Americas in Los Angeles; June 2022. The relationship between Chile and the United States, which dates back to the 19th century, has improved ...

Warnbro railway station

Railway station in Perth, Western Australia WarnbroStation in August 2021General informationLocationSafety Bay Road, WarnbroWestern AustraliaAustraliaCoordinates32°19′35″S 115°46′04″E / 32.326395°S 115.767823°E / -32.326395; 115.767823Owned byPublic Transport AuthorityOperated byPublic Transport AuthorityLine(s) Mandurah lineDistance47.5 kilometres (29.5 mi) from PerthPlatforms2 side platformsTracks2Bus routes13Bus stands7...

Fantasy Records

American independent record label Fantasy RecordsParent companyConcordFounded1949; 75 years ago (1949)FounderMax WeissSol WeissDistributor(s)Universal Music Group(reissues are co-labeled with Craft Recordings)GenreRock, Americana, Alternative, R&B, JazzCountry of originUnited StatesLocationLos Angeles, CaliforniaOfficial websitewww.fantasyrecordings.com Fantasy Records is an American independent record label company founded by brothers Max and Sol Stanley Weiss in 1949. ...

Masenqo

String musical instrument from Ethiopia MesenqoA traditional Ethiopian masinko or chira-wataString instrumentClassification chordophoneHornbostel–Sachs classification321.311(spike bowed lute)Related instruments gusle (Balkans) igil (Tuvan) krar (Horn of Africa) The masenqo (Amharic: ማሲንቆ; Tigrinya: ጭራ-ዋጣ (ዋጣ), also known as masinko, is a single-stringed bowed lute commonly found in the musical traditions of Eritrea and Ethiopia.[1] As with the krar, this instrume...