Вихованець клубу «Расінг» з Авельянеди, де тривалий час був запасним воротарем. 28 травня 2017 року матчі проти «Сан-Лоренсо» він дебютував за клуб в аргентинській Прімері[4]. У наступному сезоні Хуан став основним воротарем «Расінга».
11 липня 2018 року Муссо перейшов в італійське«Удінезе», підписавши контракт на п'ять років[5]. 28 жовтня в матчі проти «Дженоа» він дебютував в італійській Серії A[6] і відразу став основним воротарем, зігравши за три роки 104 матчі в усіх турнірах.