Функція Ліувілля — арифметична функція, що широко застосовується в теорії чисел. Названа на честь французького математика Жозефа Ліувілля. Для позначення функції переважно використовується λ(n).

Для додатного n функція Ліувілля визначається:

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)},\,\!}$

де Ω(n) — кількість простих дільників числа n, разом з мультиплікативністю. Тобто якщо ${\displaystyle n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\ldots p_{k}^{\alpha _{k}},}$ то:

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\alpha _{1}+\alpha _{2}+\ldots +\alpha _{k}}\,\!}$

Перші значення функції рівні

1, −1, −1, 1, −1, 1, −1, −1, 1, 1, −1, −1, −1, 1, 1, 1, −1, −1, −1, −1, … (послідовність A026424 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.)

• Функція Ліувілля є цілком мультиплікативною, тобто ${\displaystyle \lambda (mn)=\lambda (m)\lambda (n),\;\forall m,n\in \mathbb {N} .}$
• ${\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1&n=k^{2},\;k\in \mathbb {N} \\0&{\sqrt {n}}\notin \mathbb {N} .\end{cases}}}$

де сума береться по всіх дільниках числа n.

Для доведення позначимо ${\displaystyle g(n)=\sum _{d|n}\lambda (d).}$ Тоді оскільки функція ${\displaystyle \lambda (n)}$ — мультиплікативна, то мультиплікативною є і функція g(n). Якщо ${\displaystyle n=p^{\alpha }}$ — степінь простого числа, то

${\displaystyle g(p^{\alpha })=\sum _{d|p^{\alpha }}\lambda (d)=1+\lambda (p)+\lambda (p^{2})+\ldots +\lambda (p^{\alpha })=1-1+\ldots +(-1)^{\alpha }={\begin{cases}0&n=2k,\;k\in \mathbb {N} \\1&n=2k-1,\;k\in \mathbb {N} .\end{cases}}}$

Тобто для цього випадку якщо степінь є парним, то значення функції рівне 0, непарним — 1. Якщо тепер ${\displaystyle n=\prod _{i=1}^{k}p_{i}^{\alpha _{i}},}$ то, враховуючи мультиплікативність, ${\displaystyle g(n)=\prod _{i=1}^{k}g(p_{i}^{\alpha _{i}}).}$ Якщо хоча б одне з чисел ${\displaystyle \alpha _{i}}$ є непарним, то ${\displaystyle g(\alpha _{i})=0,}$ і також ${\displaystyle g(n)=0.}$ Число n в такому випадку не може бути квадратом. Якщо ж усі ${\displaystyle \alpha _{i}}$ є парними, то одночасно ${\displaystyle g(n)=1}$ і n є квадратом.

• ${\displaystyle \lambda ^{-1}(n)=|\mu (n)|,}$

де ${\displaystyle \lambda ^{-1}(n)}$ — обернена Діріхле функції ${\displaystyle \lambda (n),}$ а ${\displaystyle \mu (n)}$ — функція Мебіуса.

• Ряд Діріхле функції Ліувілля пов'язаний з Дзета-функцією Рімана формулою

${\displaystyle {\frac {\zeta (2s)}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\lambda (n)}{n^{s}}}.}$

Гіпотеза Пойа зроблена угорським математиком Дьордьом Пойа в 1919 році^[1]. Визначивши

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k),}$

гіпотеза стверджує, що ${\displaystyle L(n)\leq 0}$ для n > 1. Гіпотеза, проте, не є вірною. Найменший контрприклад n = 906150257, знайшов японський математик Мінору Танака в 1980 році^[2]. Згодом було доведено, що L(n) > 0.0618672√n для нескінченної кількості n,^[3] і також L(n) < -1.3892783√n для нескінченної кількості n. Визначимо також суму

${\displaystyle T(n)=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\lambda (k)}{k}}.}$

Існувала також гіпотеза, що T(n) ≥ 0 для достатньо великих n ≥ n₀. Гіпотеза була спростована англійським математиком Браяном Гаселґровом у 1958 році^[4] Підтвердження цієї гіпотези привело б до доведення гіпотези Рімана.

1. Weisstein, Eric W. Liouville Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.

• Чандрасекхаран К. Введение в аналитическую теорию чисел. — Москва : Мир, 1974. — 187 с.(рос.)
• Apostol, Tom M. (1976), Introduction to analytic number theory, Undergraduate Texts in Mathematics, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3