Теорема Гопфа — Рінова стверджує, що для лінійно зв'язного ріманового многовиду ${\displaystyle M}$ наступні твердження еквівалентні:

• ${\displaystyle M}$ — є повним метричним простором;
• Для деякої точки ${\displaystyle p\in M}$ експоненційне відображення ${\displaystyle \exp _{p}:T_{p}\to M}$ визначено для всіх векторів у ${\displaystyle T_{p}}$ (де ${\displaystyle T_{p}}$ — дотичний простір до ${\displaystyle M}$ в точці ${\displaystyle p}$); Простори з такими властивостями називаються геодезично повними;
• Кожна множина, обмежена і замкнута в ${\displaystyle M}$, є компактною.

• Будь-які дві точки p і q в лінійно зв'язному повному рімановому многовиді можна з'єднати геодезичною лінією довжина якої рівна відстані між p і q;
• Будь-яка геодезична в лінійно зв'язному повному рімановому многовиді є необмеженою, тобто визначена для всіх дійсних чисел.

• Сфера ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$, евклідовий простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ і гіперболічний простір ${\displaystyle \mathbb {H} ^{n}}$ є геодезично повними;
• Всі компактні зв'язані ріманові многовиди є геодезично повними;
• Метричний простір ${\displaystyle M:=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{0\}}$ з метрикою інкукованою звичайним скалярним добутком не є геодезично повним. Зокрема точки ${\displaystyle p=(x_{1},x_{2})\in M}$ і ${\displaystyle q=(-x_{1},-x_{2})\in M}$ не зв'язані жодною геодезичною лінією в ${\displaystyle M}$.

• Теорема Гопфа — Рінова вірна для просторів з внутрішньою метрикою, не обов'язково рімановою (наприклад, фінслерових): якщо ${\displaystyle (X,\rho )}$ — локально компактний повний метричний простір з внутрішньою метрикою, то будь-які дві точки простору ${\displaystyle X}$ можна з'єднати найкоротшою лінією.
• Теорема Гопфа — Рінова не вірна в нескінченновимірних просторах зокрема дві точки скінченновимірного повного Гільбертового многовиду можуть не бути сполученими жодною геодезичною лінією^[1]. Твердження теореми також неправильне для псевдоріманових многовидів зокрема многовидів Лоренца^[2].

• Громол Д., Клингенберг В., Мейер В., Риманова геометрия в целом, пер. с нем., М., 1971;
• Кон-Фоссен, Некоторые вопросы дифференциальной геометрии в целом, М., 1959.
• Jost, J., Riemannian Geometry and Geometric Analysis. Springer-Verlag, Berlin 2002, ISBN 3-540-42627-2.
• Manfredo Perdigao do Carmo: Riemannian Geometry. Birkhauser, Boston 1992, ISBN 0-8176-3490-8.