Теорема Веєрштрасса — Стоуна — твердження про можливість подання будь-якої неперервної функції на гаусдорфовому компакті границею рівномірно збіжної послідовності неперервних функцій особливого класу — алгебри Стоуна^[⇨].

Спочатку сформулював і довів 1885 року Карл Веєрштрасс для неперервних на відрізку дійсної прямої функцій, встановивши можливість їх рівномірно наблизити послідовністю многочленів^[⇨]. 1937 року Маршалл Стоун істотно узагальнив результат^[⇨], поширивши результат на функції, неперервні на довільному T₂- відокремлюваному компактному просторі, що утворюють кільце, а як рівномірно збіжні послідовності функцій замість многочленів — функції зі специфічного підкласу неперервних функцій, що утворює підкільце.

Пізніше знайдено й інші узагальнення результату^[⇨].

Нехай ${\displaystyle f}$ — неперервна функція, визначена на відрізку ${\displaystyle [a,b]}$. Тоді для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує такий многочлен ${\displaystyle p}$ з дійсними коефіцієнтами, що для всіх ${\displaystyle x}$ із ${\displaystyle [a,\;b]}$ одночасно виконано умову ${\displaystyle |f(x)-p(x)|<\varepsilon }$^[1].

Якщо ${\displaystyle f(x)}$ неперервна на крузі (періодична), то твердження істинне і для тригонометричних многочленів.

Теорема справедлива і для комплекснозначних функцій, але тоді коефіцієнти многочлена ${\displaystyle p}$ слід вважати комплексними числами.

Теорему встановив Карл Веєрштрасс 1885 року^[2] як наслідок загальнішого твердження: для дійсних усюди визначених неперервних функцій ${\displaystyle f(x)}$ і ${\displaystyle \psi (x)}$, абсолютне значення яких не перевищує деякої межі, притому ${\displaystyle \psi (x)}$ ніде не змінює свого знака і задовольняє рівності ${\displaystyle \psi (-x)=\psi (x)}$ і для неї збігається інтеграл:

${\displaystyle \int \limits _{0}^{\infty }\psi (x)dx=\omega }$,

виконується:

${\displaystyle f(x)=\lim \limits _{k\to 0}{\frac {1}{2k\omega }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi \left({\frac {x-y}{k}}\right)f(y)dy}$.

З прямого доведення зразу випливає, що границя не тільки існує і дорівнює ${\displaystyle f(x)}$, але й що збіжність рівномірна за ${\displaystyle x}$, що змінюється на будь-якому скінченному відрізку.

Взявши як ${\displaystyle \psi (x)=e^{-x^{2}}}$, кожна функція з сімейства:

${\displaystyle F_{k}(x)={\frac {1}{2k\omega }}\int \limits _{-\infty }^{\infty }\psi \left({\frac {x-y}{k}}\right)f(y)dy}$

цілком визначена за всіх комплексних ${\displaystyle x}$ і є цілою. Тому їх можна рівномірно в крузі будь-якого радіусу наблизити многочленами (теорема Абеля). Звідси зразу випливає, що будь-яку неперервну функцію ${\displaystyle f(x)}$ можна рівномірно наблизити многочленами на будь-якому скінченному інтервалі.

Якщо до того ж ${\displaystyle f(x)}$ — періодична функція з періодом ${\displaystyle T}$, то функції ${\displaystyle F_{k}(x)}$ є цілими періодичними функціями. Але тоді:

${\displaystyle F_{k}\left({\frac {T}{2\pi i}}\ln z\right)}$

є однозначною і голоморфною функцією в області ${\displaystyle z\not =0}$ і, отже, розкладається в ряд Лорана:

${\displaystyle F_{k}=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}z^{n}=\sum \limits _{n=-\infty }^{\infty }c_{n}\exp {\left({\frac {2\pi }{T}}inx\right)}}$,

тож ${\displaystyle F_{k}(x)}$, а значить і ${\displaystyle f(x)}$ можна наблизити тригонометричними многочленами.

У середині XIX століття уявлення про функцію як аналітичний вираз здавалося повністю застарілим, а формований на базі інтегрального і диференціального числення аналіз оперував довільними функціями, так, Герман Ганкель^[de] особливо відзначав: «про функцію ${\displaystyle y}$ від ${\displaystyle x}$ кажуть, коли кожному значенню змінної ${\displaystyle x}$, [що лежить] всередині деякого інтервалу, відповідає певне значення ${\displaystyle y}$; при цьому не суттєво, чи залежить ${\displaystyle y}$ від ${\displaystyle x}$ у всьому інтервалі за одним законом, і чи можна цю залежність виразити за допомогою математичних операцій»^[3], підкреслюючи, що не кожну функцію можна подати за допомогою аналітичного виразу. У відповідь на це Веєрштрасс і написав роботу «Про аналітичне подання так званих довільних функцій», в якій показано, що довільна неперервна функція є границею многочленів. Надалі з'ясувалося, що й самі «патологічні» функції, наприклад, функція Діріхле, допускають такого роду подання, але лише з великим числом граничних переходів.

Згідно з теоремою Вейєрштрасса простір неперервних дійсно- або комплекснозначних функцій на відрізку з рівномірною нормою сепарабельний: простір многочленів з раціональними або комплексно-раціональними коефіцієнтами є зліченним усюди щільним підпростором.

1935 року Стоун довів, що будь-яку функцію з кільця ${\displaystyle C(K)}$ неперервних на гаусдорфовому компакті ${\displaystyle K}$ дійснозначних функцій можна рівномірно наблизити функціями спеціального класу — які складають алгебру Стоуна, тобто будь-яка алгебра Стоуна ${\displaystyle C_{0}}$ є всюди щільною в просторі неперервних функцій на компакті: ${\displaystyle {\overline {C_{0}}}=C(K)}$. Як норма рівномірної збіжності на ${\displaystyle C(K)}$ береться ${\displaystyle \|f\|=\max \limits _{x\in K}|f(x)|}$, а алгебра Стоуна визначається як підалгебра ${\displaystyle C_{0}\subseteq C(K)}$, елементи якої розділяють точки ${\displaystyle K}$.

Точніше, алгебра Стоуна ${\displaystyle C_{0}}$ — це множина функцій із кільця ${\displaystyle C(K)}$, що задовольняє таким умовам:

1. разом з будь-якими її елементами ${\displaystyle f,g\in C_{0}}$ в алгебру Стоуна входять елементи: ${\displaystyle cf}$ (${\displaystyle c\in \mathbb {R} }$), ${\displaystyle f+g}$, ${\displaystyle fg}$;
2. алгебра Стоуна містить сталу функцію ${\displaystyle 1}$;
3. для кожної пари різних точок ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in K}$ знайдеться хоча б одна функція ${\displaystyle f\in C_{0},}$ така, що ${\displaystyle f(x_{1})\neq f(x_{2})}$.

Існує серія узагальнень теореми Веєрштрасса — Стоуна в різних напрямках. Наприклад, за теоремою Мергеляна будь-яку функцію, неперервну на будь-якому компакті зі зв'язним доповненням на комплексній площині і голоморфну в його внутрішніх точках можна рівномірно наблизити комплексними многочленами. Також знайдено узагальнення, що дозволяють замість гаусдорфового компакта розглядати функції, неперервні на довільному тихоновському просторі.

• Поліноми Бернштейна

• [{{{посилання}}} Теорема Веєрштрасса — Стоуна] — стаття з Математичної енциклопедії. В. І. Пономарьов
• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2403 с.(укр.)
• Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами. — М. : Наука, 1977. — 512 с.