Тензором кручення в диференціальній геометрії називається векторозначний тензор, що кожній парі векторних полів ${\displaystyle X,Y}$ класу ${\displaystyle C^{\infty }}$, заданих на деякому гладкому многовиді з введеною афінною зв'язністю присвоює векторне поле ${\displaystyle T(X,Y)}$ класу ${\displaystyle C^{\infty }}$. Разом із тензором кривини тензор кручення є одним з головних інваріантів афінної зв'язності. Зокрема тензор кручення відіграє дуже важливу роль у вивченні геометрії геодезичних ліній на многовидах.

Нехай ${\displaystyle (M,\nabla )}$ є диференційовним многовидом разом з визначеною на ньому афінною зв'язністю ${\displaystyle \nabla }$. Тензор кручення ${\displaystyle T}$ задається як векторозначне тензорне поле, що визначається рівністю:

${\displaystyle T(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y]}$

Тут ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (TM)}$ — векторні поля, а ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ — дужки Лі.

Нехай векторні поля ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ є локальним базисом із ${\displaystyle C^{\infty }}$-векторних полів дотичного розшарування ${\displaystyle TU}$ для деякої відкритої підмножини ${\displaystyle U\subset M}$ і ${\displaystyle w_{1},\ldots ,w_{n}}$ є двоїстими ${\displaystyle C^{\infty }}$-диференціальними формами. Для афінної зв'язності ${\displaystyle \nabla }$ позначимо ${\displaystyle w_{ij}}$ диференціальні форми для яких

${\displaystyle \nabla _{X}e_{i}=\sum _{i=1}^{n}w_{ij}(X)e_{j},\ \forall X\in TU.}$

Тоді ${\displaystyle w_{ij}}$ є теж диференційовними формами класу ${\displaystyle C^{\infty }}$.

Задамо також векторозначний тензор ${\displaystyle T(X,Y)}$ через його компоненти як ${\displaystyle T(X,Y)=\sum _{i=1}^{n}T_{i}(X,Y)e_{i},}$ де ${\displaystyle T_{i}(X,Y)}$ є дійснозначними тензорами аргументами яких є вектори (в якійсь точці) чи векторні поля (для усієї множини ${\displaystyle U}$).

Тоді ${\displaystyle T(X,Y)}$ із компонентами ${\displaystyle T_{i}(X,Y)}$ є тензором кручення тоді і тільки тоді коли виконуються рівності

${\displaystyle T_{i}=\operatorname {d} w_{i}+\sum _{j=1}^{n}w_{ij}\wedge w_{j}}$

де ${\displaystyle \operatorname {d} w_{i}}$ позначає зовнішню похідну диференційної форми, а ${\displaystyle w_{ij}\wedge w_{j}}$ — зовнішній добуток диференціальних форм.

Відповідно, якщо ${\displaystyle w_{ij}}$ є довільними гладкими диференціальними формами на ${\displaystyle U}$, то вони задають афінну зв'язність і для цієї зв'язності задані вище ${\displaystyle T_{i}(X,Y)}$ є компонентами тензора кручення.

Нехай векторні поля ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$ є локальним базисом із ${\displaystyle C^{\infty }}$-векторних полів дотичного розшарування ${\displaystyle TU}$ для деякої відкритої підмножини ${\displaystyle U\subset M}$ .

Нехай ${\displaystyle T_{ij}^{k}}$ позначає компоненти тензора кручення, так що ${\displaystyle T(e_{i},e_{j})=\sum _{k=1}^{n}T_{ij}^{k}e_{k}}$ або використовуючи позначення вище ${\displaystyle T_{ij}^{k}=T_{k}(e_{i},e_{j})}$.

Позначимо також ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}}$ — символи Крістофеля (тобто, наприклад, ${\displaystyle \Gamma _{ij}^{k}=w_{ki}(e_{j})}$ і ${\displaystyle \nabla _{e_{j}}e_{i}=\sum _{k=1}^{n}\Gamma _{ij}^{k}e_{k}}$) і коефіцієнти ${\displaystyle \gamma _{ij}^{k}}$, що одержуються із розкладу для дужок Лі ${\displaystyle [e_{i},e_{j}]=\sum _{k=1}^{n}\gamma _{ij}^{k}e_{k}}$.

Компоненти ${\displaystyle T_{ij}^{k}}$ тензора кручення в локальних координатах запишуться через формулу:

${\displaystyle T^{k}{}_{ij}=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji}-\gamma ^{k}{}_{ij},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.}$

. Якщо локальним базисом є, наприклад координатний базис, то ${\displaystyle \gamma _{ij}^{k}=0}$ і для компонент тензора кручення справедлива формула:

${\displaystyle T^{k}{}_{ij}=\Gamma ^{k}{}_{ij}-\Gamma ^{k}{}_{ji},\quad i,j,k=1,2,\ldots ,n.}$

Відповідно якщо символи Крістофеля задають афінну зв'язність, то ${\displaystyle T_{ij}^{k}}$ визначені як вище є компонентами відповідного тензора кручення.

З властивостей афінних зв'язностей і дужок Лі одразу одержуються наступні властивості тензора кручень:

• Тензор кручення є кососиметричним, тобто: ${\displaystyle T(X,Y)=-T(Y,X);}$
• Тензор кручення є білінійним: ${\displaystyle T(X+Y,Z)=T(X,Z)+T(Y,Z),\;T(X,Y+Z)=T(X,Y)+T(X,Z);}$
• Для довільної гладкої на многовиді функції f: ${\displaystyle T(fX,Y)=T(X,fY)=fT(X,Y).}$

Нехай γ(t) є кривою на многовиді M із афінною зв'язністю ∇. Тоді γ називається геодезичною лінією для ∇ якщо

${\displaystyle \nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}{\dot {\gamma }}(t)=0}$

для всіх t із області визначення γ. Тут ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(t)}$ задає векторне поле вздовж кривої γ. Кожна геодезична лінія однозначно задається дотичним вектором ${\displaystyle {\dot {\gamma }}(0)}$ у початковій точці t = 0.

Дві афінні зв'язності ∇ і ∇′ мають одні і ті ж геодезичні лінії тоді і лише тоді коли вони умовно кажучи відрізняються лише тензором кручення.

Більш формально нехай X і Y є векторними полями в околі точки p ∈ M і

${\displaystyle \Delta (X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla '_{X}Y}$

є різницею двох зв'язностей. У точці p Δ залежить лише від значень X і Y у p, тож загалом Δ є тензором на M. Нехай S і A є симетричною і кососиметричною частиною Δ:

${\displaystyle S(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)+\Delta (Y,X)\right)}$

${\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(\Delta (X,Y)-\Delta (Y,X)\right)}$

Тоді

• ${\displaystyle A(X,Y)={\tfrac {1}{2}}\left(T(X,Y)-T'(X,Y)\right)}$ є різницею тензорів кручень двох зв'язностей.
• Зв'язності ∇ і ∇′ мають однакові геодезичні лінії якщо і тільки якщо S(X, Y) = 0. Еквівалентним твердженням є те, що для всіх векторів X із дотичного розшарування TM виконується рівність Δ (X, X) = 0.

Відповідно симетрична частина різниці зв'язностей визначає чи мають вони однакові геодезичні лінії. Якщо всі геодезичні лінії є однаковими то різниця між зв'язностями повністю визначається різницею між їх тензорами кручення. Зокрема якщо дві зв'язності мають однакові геодезичні лінії і тензори кручення то вони є однаковими.

Також у кожному класі зв'язностей із однаковими геодезичними лініями завжди існує зв'язність для якої тензор кручення є нульовим.

Тензором кривини афінної зв'язності ∇ називається відображення TM × TM → End(TM), що кожній парі векторних полів X, Y присвоює лінійне перетворення, дія якого на векторному полі Z визначається як:

${\displaystyle R(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X,Y]}Z.}$

Значення тензора кривини, як і тензора кручень в кожній точці залежить лише від значення векторів у цій точці, а не всіх векторних полів. Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {S}}}$ позначає циклічну суму по X, Y, and Z. Наприклад:

${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right):=R(X,Y)Z+R(Y,Z)X+R(Z,X)Y.}$

Тензори кривини і кручень пов'язані такими рівностями, що називаються тотожностями Біанкі:

1. Перша тотожність Біанкі:

${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left(R(X,Y)Z\right)={\mathfrak {S}}\left(T(T(X,Y),Z)+(\nabla _{X}T)(Y,Z)\right)}$

2. Друга тотожність Біанкі:

${\displaystyle {\mathfrak {S}}\left((\nabla _{X}R)(Y,Z)+R(T(X,Y),Z)\right)=0}$

• Афінна зв'язність
• Тензор кривини

• Hicks, Noel (1965), Notes on Differential Geometry, Van Nostrand, Princeton, N. J., ISBN 0442034105 (англ.)
• Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963). Foundations of differential geometry. John Wiley & Sons. ISBN 0-470-49647-9. (англ.)