PROFILPELAJAR.COM

У абстрактній алгебрі, розмірність Круля кільця R — число строгих включень в максимальному ланцюзі простих ідеалів. Розмірність Круля не обов'язково є обмеженою навіть для нетерових кілець.

Означення

Якщо P₀, P₁, ... , P_n — прості ідеали кільця такі що $P_{0}\subsetneq P_{1}\subsetneq \ldots \subsetneq P_{n}$ , то кажуть, що ці ідеали утворюють ланцюг довжини n. Розмірність Круля — супремум довжин ланцюгів головних ідеалів.

Приклади

У кільці (Z/8Z)[x,y,z] ми можемо розглядати ланцюг

(2)\subsetneq (2,x)\subsetneq (2,x,y)\subsetneq (2,x,y,z)

Кожен з цих ідеалів головний, так що розмірність Круля (Z/8Z)[x, y, z] є як мінімум 3. Фактично розмірність цього кільця рівна точно 3.

Довільне поле k має розмірність Круля 0.
Кільце многочленів $k[x_{1},...,x_{n}]$ і кільце формальних степеневих рядів $k[[x_{1},...,x_{n}]]$ над деяким полем k мають розмірність Круля n. Більш загально для довільного нетерового комутативного кільця R для розмірності Круля виконується рівність $\dim(R[x_{1},\ldots ,x_{n}])=\dim(R[[x_{1},\ldots ,x_{n}]])=\dim R+n.$
Для довільного комутативного кільця R розмірність Круля кільця многочленів задовольняє нерівність: $\dim(R)+1\leqslant \dim(R[x_{1},\ldots ,x_{n}])\leqslant 2\dim(R)+1.$ Для кільця формальних степеневих рядів у цьому випадку виконується лише нерівність $\dim(R)+1\leqslant \dim(R[[x_{1},\ldots ,x_{n}]]).$ Натомість існують кільця скінченної розмірності Круля над якими кільце формальних степеневих рядів має нескінченну розмірність.

Зокрема кільце

R[[x]]

має нескінченну розмірність тоді і тільки тоді, коли існує простий ідеал

{\mathfrak {p}}

для якого

{\mathfrak {p}}[[x]]\neq {\sqrt {{\mathfrak {p}}R[[x]]}}.

Тут

{\mathfrak {p}}[[x]]

позначає формальні степеневі ряди із коефіцієнтами із

{\mathfrak {p}},

а

{\sqrt {{\mathfrak {p}}R[[x]]}}

— радикал ідеалу у

R[[x]]

породженого

{\mathfrak {p}}.

Зокрема, якщо R — кільце розмірності 0, то розмірність

R[[x]]

рівна або 1 або нескінченності.

Прикладом скінченновимірних комутативних кілець для якого

R[[x]]

має нескінченну розмірність є кільця недискретного нормування розмірності 1. Іншим прикладом є

R=\mathbb {Q} [x_{1},x_{2},\ldots ]/(x_{1}^{n},x_{2}^{n},\ldots ),\ n\geqslant 2,

яке є кільцем розмірності 0, а також всі скінченновимірні кільця спектр яких не є нетеровим топологічним простором.^[1]

Кільце головних ідеалів, що не є полем, має розмірність Круля 1.
Розмірність довільного кільця Артіна є рівною 0.
Розмірність довільного кільця Дедекінда є рівною 1.
Локальне кільце має нульову розмірність тоді і тільки тоді, коли всі елементи його максимального ідеалу є нільпотентними.
Приклад Наґати. Нехай $R=k[x_{1},...,x_{n},...]$ — кільце многочленів зі зліченною кількістю змінних. Розглянемо послідовність простих ідеалів ${\mathfrak {p}}_{1}=(x_{1}),\ {\mathfrak {p}}_{2}=(x_{2},x_{3}),\ {\mathfrak {p}}_{3}=(x_{4},x_{5},x_{6}),\ \ldots$ Тоді $S=R\setminus \cup {\mathfrak {p}}_{i}$ є мультиплікативною множиною і можна розглянути локалізацію $A=S^{-1}R.$ Нехай також ${\mathfrak {m}}_{i}=S^{-1}{\mathfrak {p}}_{i}.$ Множина ${\mathfrak {m}}_{i}$ є множиною максимальних ідеалів кільця A. Справді ідеали кільця A є у бієктивній відповідності із ідеалами кільця R, що містяться у $\cup {\mathfrak {p}}_{i}.$ Якщо ${\mathfrak {a}}$ є таким ненульовим ідеалом то ${\mathfrak {a}}\subset {\mathfrak {p}}_{i}$ для деякого i. Справді, якщо це не так, то з запису $\bigcup {\mathfrak {p}}_{i}={\mathfrak {p}}_{1}\cup \ldots {\mathfrak {p}}_{n}\cup \bigcup _{k>n}{\mathfrak {p}}_{k}$ і леми про уникнення простих ідеалів випливає що ${\mathfrak {a}}\subset \bigcup _{k>n}{\mathfrak {p}}_{k}$ для всіх n. Але перетин таких множин є рівним нуля, що суперечить припущенню.

Будь-який ненульовий елемент кільця A належить лише скінченній кількості максимальних ідеалів

{\mathfrak {m}}_{i}

, адже будь-який ненульовий елемент кільця R належить лише скінченній кількості ідеалів

{\mathfrak {p}}_{i}

, що випливає з того, що будь-який елемент кільця R є елементом деякого підкільця зі скінченною кількістю змінних і тому не може містити породжуючих елементів для всіх

{\mathfrak {p}}_{i}.

Кожна локалізація

A_{{\mathfrak {m}}_{i}}=R_{{\mathfrak {p}}_{i}}

є нетеровим кільцем. Дійсно якщо

{\mathfrak {p}}_{i}=(x_{k},\ldots ,x_{k+i-1}),

то

R_{{\mathfrak {p}}_{i}}=\simeq K[x_{k},\ldots ,x_{k+i-1}]_{(x_{k},\ldots ,x_{k+i-1})},

де K — поле часток підкільця многочленів у R, що не містять змінних

x_{k},\ldots ,x_{k+i-1}.

Твердження отримується з того, що кільце многочленів над полем (зі скінченною кількістю змінних) і будь-яка його локалізація є нетеровими кільцями.

Для довільного комутативного кільця R, якщо кожен його ненульовий елемент міститься лише у скінченній кількості максимальних ідеалів і локалізація по кожному максимальному кільці є кільцем Нетер, то і R — кільце Нетер. Справді для довільної зростаючої послідовності ідеалів довільний елемент якогось із ідеалів належить лише скінченній множині максимальних ідеалів. Але тоді і кожен ідеал зростаючої послідовності є підмножиною цієї скінченної множини максимальних ідеалів. Тому існує деякий максимальний ідеал якому належить нескінченна кількість ідеалів послідовності. Оскільки при переході до локалізації по цьому максимальному ідеалу підпослідовність стабілізується то це ж є справедливим і для початкової підпослідовності, а тому всієї послідовності. Отже R — кільце Нетер. Зокрема і частковий випадок

R=k[x_{1},...,x_{n},...]

є нетеровим кільцем, оскільки вказані умови виконуються.

Натомість у

{\mathfrak {m}}_{i}

існує ланцюг простих ідеалів довжини

i

. Оскільки

i

є необмеженим числом то

R

має розмірність рівну нескінченності і є прикладом нескінченновимірного нетерового кільця.

Натомість довільне напівлокальне нетерове кільце має скінченну розмірність.

Властивості

Розмірність Круля кільця R рівна супремуму висот всіх простих ідеалів R. Зокрема, область цілісності має розмірність Круля 1, коли кожен відмінний від нуля простий ідеал є максимальним ідеалом.

Область цілісності є полем, якщо і тільки якщо його розмірність Круля рівна нулю.

Розмірність Круля кільця є рівною розмірності будь-якого його цілого розширення.
Для кільця R і простого ідеалу ${\mathfrak {p}}\in R$ виконується нерівність $\operatorname {ht} {\mathfrak {p}}+\operatorname {coht} {\mathfrak {p}}\leqslant \dim R.$

Нерівність може бути строгою навіть для нетерових кілець. Нехай, наприклад,

A=k[[X,Y,Z]]

— кільце формальних степеневих рядів від трьох змінних над полем k, I — ідеал породжений XY і XZ і R = A/I. Тоді

\dim R=2.

Якщо позначати

{\bar {Y}},\ {\bar {Z}}

— образи

Y,Z

у R, то висота ідеалу

({\bar {Y}},\ {\bar {Z}})

є рівною 0, а оскільки

R/({\bar {Y}},\ {\bar {Z}})\simeq k[[X]]

то

\operatorname {coht} ({\bar {Y}},\ {\bar {Z}})=\dim k[[X]]=1.

Тому

\operatorname {ht} ({\bar {Y}},\ {\bar {Z}})+\operatorname {coht} ({\bar {Y}},\ {\bar {Z}})=1<\dim R.

Розмірність модуля

Якщо R — комутативне кільце і M — R-модуль, розмірність Круля M визначається як розмірність Круля факторкільця по анулятору модуля:

\operatorname {dim} _{R}M:=\operatorname {dim} (R/\operatorname {Ann} _{R}(M))

де Ann_R(M) — ядро відображення R → End_R(M) (що зіставляє елементу кільця множення на цей елемент).

Також можна дати означення за допомогою рівностей $\operatorname {dim} _{R}M=\sup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Supp} M}\operatorname {coht} ({\mathfrak {p}})=\sup _{{\mathfrak {p}}\in \operatorname {Ass} M}\operatorname {coht} ({\mathfrak {p}}),$ де $\operatorname {Supp} M$ — носій модуля, а $\operatorname {Ass} M$ — множина асоційованих простих ідеалів модуля.

Примітки

↑ Jimmy T. Arnold (1973), Krull dimension in power series rings, Transactions of the American Mathematical Society, 177: 299—304, doi:10.1090/s0002-9947-1973-0316451-8

Див. також

Висота (теорія кілець)

Джерела

R. Gordon, J. Ch. Robson, Krull dimension, American Mathematical Society, 1978, ISBN 0-8218-1833-3.
J. C. McConnell, J. C. Robson, Lance W. Small, Noncommutative Noetherian Rings, American Mathematical Society, 2001, ISBN 0-8218-2169-5.