PROFILPELAJAR.COM

В геометрії, пряма $L$ є опорною прямою до кривої $C$ в площині, якщо вона містить точку $C$ , але не розділяє будь-які дві точки $C$ ^[1]. Іншими словами, $C$ повністю лежить в одній з двох замкнених півплощин, на які ділить площину пряма $L$ , і має хоча б одну точку на $L$ .

Буває через точку кривої проходить багато опорних прямих (див. малюнок). Коли в заданій точці існує дотична пряма, тоді, якщо вона не перетинає криву, дотична і буде опорною прямою в цій точці, притому єдиною.

Поняття опорної прямої також має сенс для плоских фігур. У цьому випадку кажуть, що опорна пряма може бути визначена як пряма, що має спільні точки з границею фігури, але не з її внутрішньою частиною.^[2]

Якщо дві обмежені зв'язні плоскі фігури мають опуклі оболонки, які не перетинаються, тобто їх відділяє додатня відстань, то вони обов'язково мають точно чотири загальні опорні прямі, дотичні в двох різних точках двох опуклих оболонок. Дві з цих опорних прямих розділяють фігури по різним півплощинам, і називаються критичними опорними прямими.^[2]

Властивості опуклих фігур

До кожної обмеженої опуклої фігури можна провести лише дві опорні прямі, паралельні заданому напряму^[3]
Через кожну точку опуклої кривої можна провести хоча б одну опорну пряму^[3]^[4]
Якщо через кожну граничну точку фігури проходить хоча б одна опорна пряма, то фігура є опуклою^[3]^[4]
Найбільша відстань між паралельними опорними прямими опуклої фігури є діаметром цієї фігури^[3]

Узагальнення

У випадку більших вимірностей опорна пряма узагальнюється на опорну гіперплощину.

Локальна опорність

В кожній точці є локальна опорна пряма, але не в кожній точці вона буде глобально опорною

Криву C називають локально опорною на пряму $L$ в точці $x\in C$ , якщо існує такий окіл U точки $x$ , для якого $L$ — опорна пряма.

Локально опукла крива завжди має локально опорну пряму. Наявність локально опорної прямої не гарантує локальної опуклості кривої.

Якщо в точці кривої існує локально опорна пряма, то кривина кривої в цій точці буде невід'ємною.

Опорність на іншу криву

Замість опорності на пряму можна розглядати опорність на іншу криву. Наприклад, на коло.

Опорність кривої в точці на коло радіусу R означає, що кривина кривої в цій точці буде не менше ${\frac {1}{R^{2}}}$ .

Посилання

↑ «The geometry of geodesics», Herbert Busemann, p. 154
↑ ^а ^б «Encyclopedia of Distances», by Michel M. Deza, Elena Deza, p. 179
↑ ^а ^б ^в ^г «Выпуклые фигуры», И. М. Яглом и В. Г. Болтянский^{[недоступне посилання з липня 2019]}, C. 19-25
↑ ^а ^б О. А. Борисенко, Л. М. Ушакова. Аналітична геометрія: Навч. посібник для студ. мат. спец. ун-тів. — Харків : Основа, 1993. — С. 59-60.