Перед весняною частиною сезону 2010/11 тодішній тренер першої команди Карел Яролім включив гравця до своєї команди. Лукаш дебютував за основну команду в 19-му турі чемпіонату в дербі зі «Спартаком» з Трнави (3:1), що відбувся 25 лютого 2011 року, відігравши 80 хвилин[5]. Загалом до кінця сезону 2010/11 він зіграв у складі «Слована» 12 ігор чемпіонату і ще три гри у Кубок Словаччини, вигравши обидва трофеї[4].
Свій перший і єдиний гол за клуб забив 10 березня 2013 року в матчі чемпіонату проти «Нітри», коли на 89-й хвилині, невдовзі після виходу на поле, встановив остаточний рахунок гри — 3:0[6]. У тому сезоні 2012/13 він знову виграв «золотий дубль» зі «Слованом», зігравши 25 ігор у чемпіонаті[7] і 4 у національному кубку[4][8].
Виступи у Чехії
У червні 2013 року він погодився переїхати до Чехії, де підписав чотирирічний контракт із празькою «Спартою»[4][9] . Дебютував за нову команду у матчі кваліфікації Ліги Європи 2013/14 18 липня 2013 року проти шведської команди «Геккен», в якому в гостях «Спарта» не зберегла перевагу в два м'ячі і зіграла внічию 2:2[10]. Через тиждень він зіграв і у матчі-відповіді, який його команда програла з рахунком 0:1 і вибула з цього змагання. Восени того ж року він зіграв у двох поєдинках Кубка Чехії, який «Спарта» виграла в сезоні 2013/14 вже після уходу Паушека, але так жодного разу і не зіграв за клуб у чемпіонаті.
У січні 2014 року Лукащ був відданий в оренду на півроку до іншої чеської команди «Богеміанс»[11]. У складі цієї команди словак нарешті дебютував у вищому Чеському дивізіоні, вийшовши в основі 22 лютого 2014 року в 17-му турі в гостьовому поєдинку з командою «Пржибрам» (0:1) і відіграв усі дев'яносто хвилин[12]. У новій команді Паушек швидко став основним гравцем і перед сезоном 2014/15 оренда в клубі була продовжена ще на один рік[13]. Влітку 2015 року оренду знову продовжили на один сезон[14], але через півроку достроково покинув команду. Всього за «Богеміанс» він зіграв загалом 56 матчів чемпіонату.
В зимове трансферне вікно 2015/16 Паушек разом з Томашем Пршикрилом перейшов зі «Спарти» до команди «Млада Болеслав» у рамках обміну на Ондржея Загустела[15]. Паушек уклав з новою командою контракт до літа 2019 року[16] і дебютував за неї у чемпіонаті у 18-му турі проти «Спарти» (0:2), своєї колишньої команди. Він провів на полі до 53 хвилин, перш ніж Ян Калабішка замінив його[17]. Навесні 2016 року Паушек дійшов з командою до фіналу Кубка Чехії, де на стадіоні «На Стінадлех» допоміг команді перемогти«Яблонець» з рахунком 2:0 і таким чином виграти трофей.
Свій перший і єдиний гол за клуб словак забив 10 березня 2018 року в поєдинку чемпіонату зі «Збройовкою», коли на 30-й хвилині встановив остаточний рахунок гри — 3:0[18]. У січні 2019 року покинув клуб у статусі вільного агента[19], після чого тривалий час лишався без клубу.
Повернення у «Слован»
Влітку 2019 року Паушек отримав можливість тренуватися з резервною командою рідного «Слована», а у жовтні того ж року він уклав контракт з клубом на півроку[4]. Вперше після повернення зіграв за клуб у 14-му турі проти команди «Сениця» (2:0), вийшовши на поле на 83-й хвилині замість Юрія Медведєва[20]. У січні 2020 року він підписав новий контракт з братиславським «Слованом» терміном на 2,5 роки[21] і допоміг команді захистити титул чемпіона сезону 2019/20[22]. Того ж року він тріумфував зі «Слованом» і у Кубку Словаччини, таким чином вигравши "золотий дубль[23].
Наступного року він знову здобув з командою ці обидва трофеї, допомігши таким чином команді захистити «золотий дубль» вперше в її історії[24].
У сезоні 2021/22 Паушек зіграв у 14 іграх чемпіонату і допоміг своєму клубу здобути четвертий титул поспіль, завдяки чому «Слован» став першим в історії словацького футболу клубом, який зумів показати такий результат[25].
У серпні 2012 року новопризначений тренерський дует Станіслав Гріга та Міхал Гіпп вперше викликали Паушека до національної збірної на товариський матч проти Данії. 15 серпня у цьому матчі він дебютував за збірну, зайнявши позицію лівого захисника, а Словаччина перемогла 3:1[29].
