Математичний аналіз → Комплексний аналіз
Комплексний аналіз
Комплексне число
Дійсне число Уявне число Комплексна площина Спряжені числа
Комплексні функції
Комплекснозначна функція Аналітична функція Голоморфна функція Умови Коші — Рімана Формальний степеневий ряд
Основна теорія
Інтегральна теорема Коші Інтегральна формула Коші Індекс замкнутої кривої Ряд Лорана Ізольована особлива точка Теорема про лишки Конформне відображення Лема Шварца Гармонічна функція Рівняння Лапласа
Люди
Оґюстен-Луї Коші Леонард Ейлер Карл Фрідріх Гаусс Жак Соломон Адамар Бернгард Ріман Карл Веєрштрас
п о р

Лема Шварца — твердження в комплексному аналізі про властивості голоморфних функцій з одиничного круга комплексної площини в себе. Названа на честь німецького математика Германа Шварца. Узагальненням леми є теорема Шварца — Альфорса — Піка. Лема не так відома, як більш сильна теорема Рімана про відображення.

Нехай ${\displaystyle \Delta =\{z:|z|<1\}}$ — одиничний круг на комплексній площині ${\displaystyle \mathbb {C} }$. Нехай функція ${\displaystyle f}$ голоморфна в ${\displaystyle \Delta }$ і задовольняє умови:

1. ${\displaystyle f(0)=0}$;
2. ${\displaystyle |f(z)|\leqslant 1,\,\forall z\in \Delta }$.

Тоді:

1. ${\displaystyle |f(z)|\leqslant |z|,\,\forall z\in \Delta }$;
2. ${\displaystyle |f'(0)|\leqslant 1}$.

Окрім того, якщо ${\displaystyle |f(z)|=|z|}$, для деякого ненульового ${\displaystyle z\in \Delta }$ або ${\displaystyle |f'(0)|=1}$ тоді ${\displaystyle f(z)=\alpha z}$ для деякого комплексного числа ${\displaystyle \alpha }$ для якого ${\displaystyle |\alpha |=1}$.

Розглянемо функцію ${\displaystyle g(z)={\frac {f(z)}{z}}}$. Ця функція є голоморфною на множині ${\displaystyle \Delta \setminus 0}$.

Маємо також ${\displaystyle \lim _{z\rightarrow 0}g(z)=\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {f(z)}{z}}=\lim _{z\rightarrow 0}{\frac {f(z)-f(0)}{z-0}}=f'(0)\,}$.

Визначивши ${\displaystyle g(0)=f'(0)}$, отримаємо голоморфну на всьому одиничному крузі функцію. Розглянемо замкнутий круг ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }=\{z:|z|<1-\varepsilon \}}$ для довільного ${\displaystyle 0<\varepsilon \ll 1}$. На границі цього круга, ${\displaystyle |g(z)|\leqslant {\frac {1}{(1-\varepsilon )}}}$. З принципу максимуму модуля випливає, що ${\displaystyle \Delta _{\varepsilon }=\{z:|z|\leqslant 1-\varepsilon \}}$ також для всіх ${\displaystyle z\in \Delta _{\varepsilon }}$. Якщо тепер направити ${\displaystyle \varepsilon \rightarrow 0}$ то в результаті одержуємо ${\displaystyle |g(z)|\leqslant 1}$ для всіх ${\displaystyle z\in \Delta }$. Дана нерівність згідно означень рівносильна нерівності ${\displaystyle |f(z)|\leqslant |z|}$ для ${\displaystyle z\in \Delta \setminus 0}$ (для ${\displaystyle z=0,\,|f(z)|=0=|z|,}$ так що твердження леми автоматично виконується). Також згідно визначення ${\displaystyle g(0)=f'(0)}$ тому ${\displaystyle |f'(0)|=|g(0)|\leqslant 1}$.

Якщо тепер для деякого ненульового ${\displaystyle z\in \Delta }$ виконується ${\displaystyle |f(z)|=|z|}$ то ${\displaystyle |g(z)|=1.}$ Якщо ${\displaystyle |f'(0)|=1}$ тоді ${\displaystyle g(0)=1.}$ Оскільки ${\displaystyle |g(z)|\leqslant 1}$ для всіх ${\displaystyle z\in \Delta }$ то згідно принципу максимального модуля в обох цих випадках функція ${\displaystyle g(z)}$ є константою. Модуль цієї константи рівний 1. Якщо позначити цю константу ${\displaystyle \alpha }$ то маємо ${\displaystyle {\frac {f(z)}{z}}=g(z)\equiv \alpha ,}$ звідки ${\displaystyle f(z)=\alpha z.}$

• Принцип максимуму модуля
• Теорема Бореля — Каратеодорі

• Шабат Б. В. Введение в комплексный анализ. — М.: Наука, 1969. — 577 с.
• Greene, Robert E.; Krantz, Steven G. (2002). Function Theory of One Complex Variable. Providence, R.I.: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-2905-9