У математиці лема Рімана — Лебеґа, названа на честь Бернхарда Рімана та Анрі Лебега, стверджує, що перетворення Фур'є або перетворення Лапласа ${\displaystyle L^{1}}$-функції занулюється в нескінченності. Має важливе значення в гармонічному та асимптотичному аналізах.

Якщо ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle L^{1}}$-інтегровна на ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$, тобто, якщо інтеграл Лебега від ${\displaystyle |f|}$ — скінченний, то перетворення Фур'є функції ${\displaystyle f}$ задовольняє

${\displaystyle {\hat {f}}(z)\equiv \int _{\mathbb {R} ^{d}}f(x)\exp(-iz\cdot x)\,dx\rightarrow 0,|z|\to \infty .}$

Спочатку припустимо, що ${\displaystyle f(x)=\chi _{(a,b)}(x)}$, функція індикатор відкритого інтервалу.

Тоді:

${\displaystyle \int f(x)e^{i\xi x}\,dx=\int _{a}^{b}e^{i\xi x}\,dx={\frac {e^{i\xi b}-e^{i\xi a}}{i\xi }}\rightarrow 0}$ як ${\displaystyle |\xi |\rightarrow \infty }$

За адитивністю границь, те саме справедливо для довільної крокової функції. Тобто для будь-якої функції ${\displaystyle f}$, заданої як:

${\displaystyle f=\sum _{i=1}^{N}c_{i}\chi _{(a_{i},b_{i})},~~c_{i}\in \mathbb {R} ,~~a_{i}\leq b_{i}\in \mathbb {R} }$

Маємо:

${\displaystyle \lim _{|\xi |\rightarrow \infty }\int f(x)e^{i\xi x}\,dx=0}$

Нарешті, нехай ${\displaystyle f\in L^{1}}$ довільна.

Зафіксуємо ${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} >0}$.

Оскільки крокові функції щільні в ${\displaystyle L^{1}}$, існує покрокова функція ${\displaystyle g}$ такий, що:

${\displaystyle \int \left\vert f(x)-g(x)\right\vert \,dx<\varepsilon }$

За нашим попереднім аргументом та означенням границі складеної функції існує ${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$ такі, що для всіх ${\displaystyle |\xi |>N}$:

${\displaystyle \left\vert \int g(x)e^{i\xi x}\,dx\right\vert <\varepsilon }$

За адитивністю інтегралів:

${\displaystyle \int f(x)e^{i\xi x}\,dx=\int (f(x)-g(x))e^{i\xi x}\,dx+\int g(x)e^{i\xi x}\,dx}$

Використовуючи нерівність трикутника для комплексних чисел, нерівність трикутника для інтегралів, мультиплікативність абсолютного значення та формулу Ейлера:

${\displaystyle \left\vert \int f(x)e^{i\xi x}\,dx\right\vert \leq \int \left\vert f(x)-g(x)\right\vert \,dx+\left\vert \int g(x)e^{i\xi x}\,dx\right\vert }$

Для усіх ${\displaystyle |\xi |>N}$, використовуючи попередні висновки права частина попередньої нерівності обмежена ${\displaystyle 2\varepsilon }$. Оскільки ${\displaystyle \varepsilon }$ було довільним, маємо:

${\displaystyle \lim _{|\xi |\rightarrow \infty }\int f(x)e^{i\xi x}\,dx=0}$

для усіх ${\displaystyle f\in L^{1}}$.

Лема Рімана — Лебеґа має справедлива в багатьох інших ситуаціях.

• Якщо ${\displaystyle fL^{1}}$-інтегровна і визначена на ${\displaystyle (0,\infty )}$, то лема Рімана-Лебеґа також застосовна до перетворення Лапласа функції${\displaystyle f}$. Тобто,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(t)e^{-tz}\,dt\to 0}$

при ${\displaystyle |z|\to \infty }$ у півплощині ${\displaystyle Re(z)\geq 0}$.

• Лема справедлива і для рядів Фур'є: якщо ${\displaystyle f}$ є інтегровною функцією на інтервалі, то коефіцієнти Фур'є функції ${\displaystyle f}$ прямують до 0 при ${\displaystyle n\to \pm \infty }$,

${\displaystyle {\hat {f}}_{n}\ \to \ 0.}$

Випливає якщо довизначити ƒ нулем поза інтервалом визначення, а відтак застосувати версію леми до всього дійсного відрізка.

• Подібне твердження є тривіальним для L² функцій. Щоб побачити це, зверніть увагу, що перетворення Фур'є переводить ${\displaystyle L^{2}}$ в ${\displaystyle L^{2}}$, а для таких функцій існують ${\displaystyle l^{2}}$ розклад в ряд Фур'є.

• Однак лема не виконується для довільних розподілів. Наприклад, розподіл дельта-функції Дірака формально має скінченний інтеграл на дійсній прямій, але його перетворення Фур'є є константою (точне значення залежить від форми використовуваного перетворення) і не прямує до нуля в нескінченності.

Лема Рімана — Лебеґа може бути використана для доведення справедливості асимптотичних наближень для інтегралів. Строге доведення методу найшвидшого спуску та методу нерухомої фази, серед інших, базуються на лемі Рімана-Лебеґа.

Зупинимося на одновимірному випадку, доведення для вищих порядків подібне. Нехай ${\displaystyle f}$ визначена на компактній множині гладка функція. Тоді інтегруючи частинами маємо

${\displaystyle \left|\int f(x)e^{-izx}\,dx\right|=\left|\int {\frac {1}{iz}}f'(x)e^{-izx}\,dx\right|\leq {\frac {1}{|z|}}\int |f'(x)|\,dx\rightarrow 0,z\rightarrow \pm \infty .}$

Якщо ${\displaystyle f}$ довільна інтегровна функція, її можна наблизити за нормою ${\displaystyle L^{1}}$ визначеною на компакті гладкою функцією ${\displaystyle g}$. Виберемо g так, щоб || ƒ − g || _{L ¹} < ε. Тоді

${\displaystyle \limsup _{z\rightarrow \pm \infty }|{\hat {f}}(z)|\leq \limsup _{z\to \pm \infty }\left|\int (f(x)-g(x))e^{-ixz}\,dx\right|+\limsup _{z\rightarrow \pm \infty }\left|\int g(x)e^{-ixz}\,dx\right|\leq \varepsilon +0=\varepsilon ,}$

а оскільки ${\displaystyle \varepsilon >0}$ — довільне, то отримуємо твердження теореми.

• Bochner S., Chandrasekharan K. (1949). Fourier Transforms. Princeton University Press.
• Weisstein, Eric W. Riemann–Lebesgue Lemma(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• https://proofwiki.org/wiki/Euler's_Formula [Архівовано 25 жовтня 2020 у Wayback Machine.]