Конфо́рмно-евклі́дова моде́ль або моде́ль Пуанкаре́ — модель простору Лобачевського. Існують різновиди моделі — в колі (стереографічна проєкція) і на півплощині для планіметрії Лобачевського, а також у кулі і в півпросторі — для стереометрії Лобачевського, відповідно.
Конформно-евклідова модель має таку назву тому, що гіперболічні кути дорівнюють відповідним кутам на евклідовій площині між відповідними півдотичними[1]. Для проєктивної моделі, гіперболічні кути дорівнюють евклідовим кутам лише у виключних випадках, наприклад, така рівність є у початку координат проєктивної моделі.
Цю модель, як і проективну модель і модель псевдосфери, запропонував Еудженіо Бельтрамі.[2] Метрику в конформно-евклідовій моделі використано також у знаменитій лекції Рімана «Про гіпотези, що лежать в основі геометрії», але зв'язок з геометрією Лобачевського виявив саме Бельтрамі. Згодом Анрі Пуанкаре виявив зв'язки цієї моделі з задачами теорії функцій комплексної змінної, що дало одне з перших серйозних застосувань геометрії Лобачевського.
За площину Лобачевського приймається внутрішність круга (див. мал.) в евклідовому просторі; межа даного круга (коло) називається «абсолютом». Роль геодезичних ліній виконують дуги кіл ( a , b , b ′ ) {\displaystyle (a,\;b,\;b')} , перпендикулярних до абсолюту, і його діаметри[3]; роль рухів — перетворення, одержувані комбінаціями інверсій відносно кіл, дуги яких служать прямими.
Метрика d s {\displaystyle ds} площини Лобачевського в конформно-евклідовій моделі в одиничному крузі є:
де x {\displaystyle x} і y {\displaystyle y} — вісь абсцис і ординат, відповідно[4].
Аналогічно, для конформно-евклідової моделі в кулі роль абсолюту виконує обмежувальна сфера в тривимірному евклідовому просторі, а простором Лобачевского є внутрішність кулі.
У комплексних координатах на одиничному колі відстані можна обчислити за допомогою такої формули:
Відстань можна виразити через подвійне відношення. Якщо на дузі w 1 {\displaystyle w_{1}} , z 1 {\displaystyle z_{1}} точки розташовано в такому порядку: w 1 {\displaystyle w_{1}} , w {\displaystyle w} , z {\displaystyle z} , z 1 {\displaystyle z_{1}} то відстань між точками w {\displaystyle w} і z {\displaystyle z} , у геометрії Лобачевського дорівнює
В моделі Пуанкаре в півплощині за площину Лобачевського приймається верхня півплощина. Пряма, що обмежує півплощину (тобто вісь абсцис), називається «абсолютом». Роль прямих виконують півкола з центрами на абсолюті, що містяться в цій півплощині, і перпендикулярні до абсолюту промені, що починаються на ньому (тобто вертикальні промені). Роль рухів — перетворення, одержувані композицією скінченного числа інверсій із центром на абсолюті і осьових симетрій, осі яких перпендикулярні до абсолюту.
Метрика d s {\displaystyle ds} площини Лобачевського в конформно-евклідовій моделі у верхній півплощині має вигляд: d s 2 = 1 v 2 ( d u 2 + d v 2 ) {\displaystyle ds^{2}={\frac {1}{v^{2}}}(du^{2}+dv^{2})} [4], де u {\displaystyle u} і v {\displaystyle v} — прямокутні координати, відповідно паралельно і перпендикулярно до абсолюту.
Відповідно, в конформно-евклідовій моделі в півпросторі роль абсолюту виконує площина в тривимірному евклідовому просторі, а простором Лобачевського є півпростір, що лежить на цій площині.
Lokasi Pengunjung: 3.12.74.170