Комбінація (комбінаторика)

В математиці комбінація або сполука це спосіб вибору декількох речей з більшої групи, де (на відміну від розміщення) порядок не має значення. У випадку з маленькими числами можливо підрахувати кількість сполук. Наприклад, дано три фрукти, яблуко, помаранч і груша, існують три сполуки по два фрукти, що можуть бути отримані з цього набору: яблуко і груша, яблуко і помаранч, або груша і помаранч. Формальніше k-сполука множини S це підмножина утворена k різними елементами S. Якщо множина містить n елементів, тоді кількість k-сполук дорівнює біноміальному коефіцієнту

{\binom {n}{k}}=C_{n}^{k}={\frac {n(n-1)\ldots (n-k+1)}{k(k-1)\dots 1}},

який можна записати із використанням факторіалів так ${\frac {n!}{k!(n-k)!}}$ коли $k\leq n$ , і який дорівнює нулю $k>n$ . Множина всіх k-сполук множини S іноді записується як

{\binom {S}{k}}\,.

Сполуки можуть допускати повторення, а можуть ні.^[1] В попередньому прикладі повторення не дозволялись. Однак, якщо вони були б дозволені, ми мали б три додаткові сполуки: два яблука, два помаранчі і дві груші.

Число комбінацій з повтореннями з n по k дорівнює числу комбінацій без повторень з (n+k-1) по k.

За фіксованого n, генератрисою послідовності чисел сполук ${n \choose 0}$ , ${n \choose 1}$ , ${n \choose 2}$ , … є $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}=(1+x)^{n}.$

Двовимірною генератрисою чисел сполук є $\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }(1+x)^{n}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}.$

Сума всіх сполук з k від 0 до n дорівнює $\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}.$

Див. також

Біноміальний коефіцієнт

Примітки

↑ Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, John Wiley & Sons, INC, 1999

Read other articles:

Epsilon Scorpii

ε Scorpii Lokasi ε Sco (dilingkar merah) Data pengamatan Epos J2000 Ekuinoks J2000 Rasi bintang Skorpio Asensio rekta 16j 50m 09,8d[1] Deklinasi –34° 17′ 36″[1] Magnitudo tampak (V) +2,310[2] (2,24 - 2,35)[3]) Ciri-ciri Kelas spektrum K1 III[4] Indeks warna U−B +1,147[2] Indeks warna B−V +1,150[2] Jenis variabel diduga[3] Ast...

Kepler-186

Kepler-186[1] Kepler-186 is indicated by the red circle (2MASS J band image) Data pengamatan Epos J2000.0 Ekuinoks J2000.0 Rasi bintang Cygnus Asensio rekta 19j 54m 36.6536d[2] Deklinasi +43° 57′ 18.0259″[2] Magnitudo tampak (V) 15.29[3] Ciri-ciri Kelas spektrum M1V[4] AstrometriGerak diri (μ) RA: 2,099±0,041[2] mdb/thn Dek.: −4,361±0,042&...

Nicolaus Copernicus

Mathematician and astronomer (1473–1543) Copernicus and Kopernik redirect here. For other uses, see Copernicus (disambiguation). Nicolaus CopernicusToruń portrait (c. 1580)[a]Born19 February 1473Toruń, Royal Prussia, PolandDied24 May 1543 (aged 70)Frombork, Royal Prussia, PolandEducationUniversity of Kraków (1491–1495)University of Bologna (1496–1500)University of Padua (1501–1503)University of Ferrara (DCanL, 1503)Known forHeliocentrismQuantity theory of mo...

Renewable energy in Germany

Renewable Energy in Germany (from top left to bottom right): Biogas fermenter in Hornstet Wind park in Bernburg Geothermal power plant in Neustadt-Glewe German wind and solar in Rhineland-Palatinate Gross generation of electricity by source in Germany 1990–2020 showing the shift from nuclear and coal to renewables and fossil gas Jobs in the renewable energy sector in Germany in 2018 Renewable energy in Germany is mainly based on wind and biomass, plus solar and hydro. Germany had the world...

Somewhere Quiet

Somewhere QuietPoster rilis teatrikalSutradaraOlivia West LloydProduser Taylor Shung Eamon Downey Emma Hannaway Ditulis olehOlivia West LloydPemeran Jennifer Kim Kentucker Audley Marin Ireland Micheál Neeson Penata musikAriel MarxSinematograferConor MurphyPenyuntingSofi MarshalPerusahaanproduksi The Population Last Rodeo Studios DistributorVertical EntertainmentTanggal rilis 8 Juni 2023 (2023-06-08) (Tribeca) 2 Februari 2024 (2024-02-02) Durasi102 menit[1]NegaraAm...

Золотой век Грузии

История Грузииსაქართველოს ისტორია Доисторическая Грузия Шулавери-шомутепинская культураКуро-араксская культураТриалетская культураКолхидская культураКобанская культураДиаухиМушки Древняя история КолхидаАриан-КартлиИберийское царство ФарнавазидыГруз�...

Book of Taliesin

Medieval Welsh manuscriptThis article is about the medieval Welsh manuscript. For the album by Deep Purple, see The Book of Taliesyn. For other uses, see Taliesin (disambiguation). Book of TaliesinAberystwyth, NLW, Peniarth MS 2facsimile, folio 13Also known asLlyfr TaliesinDateFirst half of the 14th centurySize38 foliosContentssome 60 Welsh poems The Book of Taliesin (Welsh: Llyfr Taliesin) is one of the most famous of Middle Welsh manuscripts, dating from the first half of the 14th century t...

I Kissed a Girl

2008 single by Katy Perry For other uses, see I Kissed a Girl (disambiguation). I Kissed a GirlSingle by Katy Perryfrom the album One of the Boys ReleasedApril 28, 2008 (2008-04-28)Studio Dr. Luke's Studios Legacy Recording Studio (New York City) Conway Recording Studio (Hollywood) Genre Pop rock electropop new wave glam rock[1] Length3:00LabelCapitolSongwriter(s) Katy Perry Lukasz Gottwald Max Martin Cathy Dennis Producer(s) Dr. Luke Benny Blanco Katy Perry singles chr...

Lila

Lila Syringa Syringa vulgaris,common lilacTumbuhanJenis buahkapsul TaksonomiDivisiTracheophytaSubdivisiSpermatophytesKladAngiospermaeKladmesangiospermsKladeudicotsKladcore eudicotsKladasteridsKladlamiidsOrdoLamialesFamiliOleaceaeTribusOleeaeSubtribusLigustrinaeGenusSyringa Linnaeus, 1753 Tipe taksonomiSyringa vulgaris Tata namaDinamakan berdasarkanSyrinx Sinonim takson Lilac Mill. Liliacum Renault Busbeckia Hécart, nom. inval. Ligustrina Rupr.[1] lbs Syringa adalah genus dari 12...

Perjanjian Salatiga

Perjanjian SalatigaPerjanjian Salatiga ditandatangani oleh para pihak yang terlibat konflik di Gedung PakuwonDitandatangani17 Maret 1757LokasiGedung Pakuwon di Salatiga, Jawa TengahPenengah Perusahaan Hindia Timur Belanda (VOC) Pihak Kesunanan Surakarta Kesultanan Yogyakarta Kelompok Pangeran Sambernyawa BahasaJawa dan Belanda Perjanjian Salatiga adalah perjanjian yang ditandatangani pada tanggal 17 Maret 1757 di Salatiga. Perjanjian ini diadakan untuk menyelesaikan perselisihan atas Perjanji...

Corinna Scholz

German curler Corinna ScholzCurlerBorn (1989-08-01) 1 August 1989 (age 34)Schongau, Bavaria, West GermanyTeamCurling clubCC Füssen Füssen, GermanySkipImogen Oona LehmannThirdCorinna ScholzSecondStella HeißLeadNicole MuskatewitzCurling career World Championshipappearances5 (2010, 2011, 2012, 2013, 2014)European Championshipappearances5 (2009, 2010, 2011, 2012, 2013)Olympicappearances1 (2010) Medal record Curling Representing Germany World Championships 2010 Swift Current European...

BANZSL

Cari artikel bahasa Cari berdasarkan kode ISO 639 (Uji coba) Cari berdasarkan nilai Glottolog Kolom pencarian ini hanya didukung oleh beberapa antarmuka Halaman rumpun acak Rumpun bahasaBANZSLPersebaranPulau Britania Raya, Irlandia Utara, Afrika Selatan, Newfoundland dan Labrador, Maritimes, Australia, dan Selandia BaruPenggolongan bahasaSalah satu rumpun bahasa isyarat duniaBANZSL Isyarat Britania Isyarat Australia Isyarat Selandia Baru Isyarat Afrika Selatan Isyarat Mari...

樓亦文

樓亦文个人资料字字以文出生？年？月？日逝世？年？月？日樓亦文（？—？），字以文。浙江省餘姚縣人[1]，民國37年（1948年）在廣西省選區當選第一屆立法委員。生平[2] 北平女子師範大學畢業，留學法國[3] 全國學總北京代表[4] 民國20年4月20日，在杭州與黃研真結為夫婦民國38年，當選立法委員，曾出席第一屆第一會期教育文化委員會、社會委�...

15 Eunomia

15 Eunomia PenemuanDitemukan olehAnnibale de GasparisTanggal penemuan29 Juli 1851PenamaanAsal namaEunomiaKategori planet minorSabuk utama (Keluarga Eunomia)Ciri-ciri orbit[1]Epos 14 Juni 2006 (Hari Julian 2453900,5)Aphelion469,429 Gm (3,138 SA)Perihelion321,429 Gm (2,149 SA)Sumbu semimayor395,429 Gm (2,643 SA)Eksentrisitas0,187Periode orbit1569,687 hr (4,30 a)Kecepatan orbit rata-rata18,16 km/dtkAnomali rata-rata286,102°Inklinasi11,738°Bujur node menaik293,273°Argume...

2022年3月泉州市2019冠状病毒病聚集性疫情

关于福建省的2019冠状病毒病疫情情况，请见「2019冠状病毒病福建省疫情」。维基百科中的醫學内容仅供参考，並不能視作專業意見。如需獲取醫療幫助或意見，请咨询专业人士。詳見醫學聲明。如无特别说明，此條目中的“中國”指中华人民共和国。在这条目内未有标明年份的日期都代表是2022年。若非特別註明，本條目所有時間皆為東八區標準時間（...

Liguilla Pre-Libertadores de América 2009

XXXV Liguilla Pre-Libertadores de AméricaUruguay 2009 Fecha 18 de julio de 20095 de agosto de 2009 Cantidad de equipos 6 equipos Podio • Campeón• Subcampeón Cerro Racing Goleador Joaquín Boghossian (Cerro) 7 La Liguilla Pre-Libertadores de América de 2009 fue la trigésimoquinta y última edición del Torneo Liguilla Pre-Libertadores de América, correspondiente a la temporada 2008-09 del fútbol uruguayo. El campeón del torneo fue Cerro, que de esa manera logró su segunda ...

Olimpiadi degli scacchi del 2006

Olimpiadi degli scacchi del 2006 Competizione Olimpiadi degli scacchi Sport scacchi Edizione 37ª Organizzatore FIDE Date dal 20 maggio 2006al 4 giugno 2006 Luogo ItaliaTorino Partecipanti 148 squadre (open)103 squadre (femminile) Nazioni 143 (open)99 (femminile) Formula un torneo open e uno femminile entrambi giocati con sistema svizzero Impianto/i Oval Lingotto Sito web sito ufficiale Risultati Oro Armenia (open) 1º titolo Ucraina (femminile) 1º titolo Argento &#...

Paralysie du sommeil

Paralysie du sommeil « Le Cauchemar » par Johann Heinrich Füssli (1781) Données clés Traitement Traitement Antidépresseur et hygiène du sommeil Spécialité Hypnologie Classification et ressources externes CIM-10 G47.53 CIM-9 327.43 DiseasesDB 12182 MedlinePlus 000801 MeSH D020188 Mise en garde médicale modifier - modifier le code - voir Wikidata (aide) La paralysie du sommeil est une parasomnie selon la Classification internationale des troubles du sommeil, qui se caractérise p...

Велика Снітинка

село Велика Снітинка Герб Прапор Країна Україна Область Київська область Район Фастівський Громада Фастівська міська громада Код КАТОТТГ UA32140150060055532 Основні дані Засноване 1597[1] Населення 2625 Площа 6,11 км² Густота населення 429,62 осіб/км² Поштовий індекс 08540 Те�...

Karoline Auguste von Bayern

Carolina Augusta, Kaiserin von Österreich, Lithographie von Josef Kriehuber nach einem Gemälde von Franz Schrotzberg Prinzessin Karoline Charlotte Auguste von Bayern Karoline Charlotte Auguste von Bayern (* 8. Februar 1792 in Mannheim; † 9. Februar 1873 in Wien) war die Tochter von König Maximilian I. Joseph von Bayern und seiner Gattin Auguste Wilhelmine von Hessen-Darmstadt und durch ihre beiden Eheschließungen erst Kronprinzessin von Württemberg und schließlich Kaiserin von Österr...

Digital terrestrial television in the Republic of Ireland

Barurambat Kota, Pamekasan, Pamekasan

Lezioni di letteratura russa

Tariff of 1883

Gaspar Campos

ISO 3166-2:SH

Wrestling at the 2016 Summer Olympics – Women's freestyle 53 kg

Membertou First Nation