Речовина розпадається експоненційно якщо швидкість розпаду пропорційна кількості речовини. Символьно цей процес можна виразити через диференціальне рівняння, де N це кількість речовини й λ це додатний темп відомий як стала розпаду або радіоактивна стала:

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N.}$

Розв'язком цього рівняння (див. виведення нижче) є:

Зміна з експоненційною швидкістю: ${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-\lambda t}.\,}$

Тут N(t) — t і N₀ = N(0) — це початкова кількість, тобто кількість на час t = 0.

Якщо речовина, що розпадається, N(t), це кількість окремих елементів в певній множині, можливо підрахувати середній час поки елемент залишається у множині. Його називають середньою тривалістю життя і можна показати, що вона пов'язана зі швидкістю розпаду, λ, так:

${\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}.}$

Середню тривалість життя можна розглядати як коефіцієнт масштабування часу, бо ми можемо записати рівняння експоненційного розпаду в термінах середньої тривалості життя, τ, замість сталої розпаду, λ:

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-t/\tau }.\,}$

ми можемо бачити, що τ це час за який сукупність зменшилась в 1/e = 0.367879441 разів.

Наприклад, якщо початкова кількість, сукупність збірки, N(0), становить 1000, тоді в час τ, сукупність, N(τ), становитиме 368.

Дуже схоже рівняння ми побачимо нижче, воно випливає коли замість e вибрати 2 як базу показникової функції. У цьому випадку отримаємо період напіврозпаду.

Для багатьох людей інтуїтивнішою характеристикою експоненційного розпаду є час потрібний, щоб кількість речовини, що розпадається, зменшилась вдвічі. Цей час відомий як період напіврозпаду, і часто позначається символом t_1/2. Період напіврозпаду можна записати в термінах сталої розпаду або середньої тривалості життя як:

${\displaystyle t_{1/2}={\frac {\ln(2)}{\lambda }}=\tau \ln(2).}$

Коли вставити цей вираз у ${\displaystyle \tau }$ в показниковому рівнянні вище і врахувати ln 2 в базі, рівняння переходить у:

${\displaystyle N(t)=N_{0}2^{-t/t_{1/2}}.\,}$

Отже, обсяг матеріалу, що залишився є 2⁻¹ = 1/2 піднесений до (цілого або дрібного) числа періодів напіврозпад, які минули. Таким чином, після трьох таких періодів залишиться 1/2³ = 1/8 від стартової кількості.

Звідси, середня тривалість життя ${\displaystyle \tau }$ дорівнює періоду напіврозпаду розділеному на натуральний логарифм 2 або:

${\displaystyle \tau ={\frac {t_{1/2}}{\ln 2}}\approx 1.44\cdot t_{1/2}.}$

Наприклад, період напіврозпаду полонію-210 становить 138 днів, а середня тривалість життя 200 днів.

Рівняння, яке описує експоненційний розпад таке

${\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N}$

або, відокремлюючи змінні,

${\displaystyle {\frac {dN}{N}}=-\lambda dt.}$

І далі інтегруючи

${\displaystyle \ln N=-\lambda t+C\,}$

де C — стала інтегрування, і отже

${\displaystyle N(t)=e^{C}e^{-\lambda t}=N_{0}e^{-\lambda t}\,}$

де кінцеву заміну, N₀ = e^C, отримуємо через використання t = 0, бо N₀ визначено як кількість речовини в t = 0.

Ця форма рівняння найчастіше використовується для опису експоненційного розпаду. Будь-що зі сталої розпаду, середня тривалість життя або період напіврозпаду достатньо для описання розпаду. Символ λ для сталої розпаду є слідом звичайного запису власного значення. У цьому випадку, λ є власним значенням мінус диференціального оператора з N(t) як відповідною власною функцією. Одиницями вимірювання сталої розпаду є с⁻¹.

Маючи набір елементів, число яких зрештою зменшуються до нуля, середня тривалість життя, ${\displaystyle \tau }$, це математичне сподівання часу необхідного для того, щоб об'єкт покинув набір. Конкретно, якщо особиста тривалість життя елемента набору це час між деяким часом відліку і видаленням елементу з набору, тоді середня тривалість життя це просто середнє арифметичне окремих тривалостей життя.

Починаючи з формули

${\displaystyle N=N_{0}e^{-\lambda t},\,}$

ми спершу введемо нормалізаційний множник c для переходу до густини ймовірності:

${\displaystyle 1=\int _{0}^{\infty }c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=c\cdot {\frac {N_{0}}{\lambda }}}$

або після перебудови

${\displaystyle c={\frac {\lambda }{N_{0}}}.}$

Ми бачимо, що експоненційний розпад це помножений на скаляр експоненційний розподіл (тобто тривалість життя кожного об'єкта розподілена експоненційно), який має добре відоме математичне сподівання. Ми можемо обчислити його тут через використання інтегрування частинами.

${\displaystyle \tau =\langle t\rangle =\int _{0}^{\infty }t\cdot c\cdot N_{0}e^{-\lambda t}\,dt=\int _{0}^{\infty }\lambda te^{-\lambda t}\,dt={\frac {1}{\lambda }}.}$

Речовина може розпадатись через два чи більше процеси розпаду одночасно. Звичайно, ці процеси (відомі як «типи розпаду», «канали розпаду», «шляхи розпаду» і т.д.) мають різні ймовірності відбуття і, отже, відбуваються з різними швидкостями й різними періодами напіврозпаду одночасно.^[1] Загальна швидкість розпаду речовини N задається через суму шляхів розпаду; звідси, у випадку двох процесів:

${\displaystyle -{\frac {dN(t)}{dt}}=N\lambda _{1}+N\lambda _{2}=(\lambda _{1}+\lambda _{2})N.}$

Розв'язок для цього рівняння наведено у попередньому розділі, де сума ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}}$ трактується як нова загальна стала розпаду ${\displaystyle \lambda _{c}}$.

${\displaystyle N(t)=N_{0}e^{-(\lambda _{1}+\lambda _{2})t}=N_{0}e^{-(\lambda _{c})t}.}$

• Експоненційне зростання

• Weisstein, Eric W. Експоненційний розпад(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.