Народився в Нью-Йорку в сім'ї євреїв з Угорщини. Як рядовий солдат воював на фронтах обох світових воєн. З 1920 р. трудився в театрах Бродвею, в 1928 р. перебрався до Голлівуду. У 1930-ті роки працював під керівництвом знаменитого продюсера Девіда Селзніка над екранізаціями європейської класики (включаючи «Девіда Копперфільда»). За задумом Селзника, саме К'юкор мав зняти кіноверсію «Віднесених вітром», однак незадовго до початку зйомок він вийшов з проекту.
К'юкор був відомий сумлінною працею з акторами. Йому належить в цьому відношенні цікавий рекорд: троє акторів за фільми К'юкора були удостоєні «Оскара» за головну чоловічу роль. За «Газове світло» отримала свій «Оскар» легендарна Інгрід Бергман. На рубежі 1940-х і 1950-х він зняв чотири фільми з актрисою Джуді Голідей, яка за один з них також удостоїлася «Оскара». У К'юкора зіграла свою першу роль 4-разова володарка «Оскара» Кетрін Хепберн, а Грета Гарбо — свою прощальну роль.
Передостання робота К'юкора в кіно принесла йому досвід співпраці з радянськими кінематографістами: на хвилі розрядки, спільно студіями 20th Century Fox і «Ленфільм» був знятий фільм-казка «Синій птах» за однойменною п'єсою Моріса Метерлінка.
За межами знімального майданчика К'юкор був відомий як бонвіван. Регулярні вечірки на його віллі збирали безліч голлівудських знаменитостей. Жінками він не цікавився, жив з молодими чоловіками. Одного разу його навіть заарештували за «непристойну поведінку», проте завдяки втручанню голлівудських ділків справу вдалося швидко зам'яти. К'юкор помер від серцевого нападу 24 січня 1983 і був похований на «зоряному» кладовище Глендейл. Залишив після себе статки в кілька мільйонів доларів.
Фільмографія
1930 — Сердитий / Grumpy
1930 — Доброчесний гріх / Virtuous Sin
1930 — Бродвейська королівська сім'я / The Royal Family of Broadway
1931 — Зганьблена / Tarnished Lady
1931 — Дівчата про місто / Girls About Town
1932 — Білль про розлучення / A Bill of Divorcement
1932 — / Rockabye
1932 — Скільки коштує Голлівуд? / What Price Hollywood?
