У математиці функція розподілу простих чисел, або пі-функція ${\displaystyle \pi (x)}$, — це функція, що дорівнює числу простих чисел, менших або рівних дійсному числу x^[1][2]. Позначається ${\displaystyle \pi (x)}$ (це ніяк не пов'язано з числом пі).

Великий інтерес у теорії чисел викликає швидкість зростання пі-функції^[3][4]. Наприкінці XVIII століття Гаусс і Лежандр висунули припущення, що пі-функція оцінюється як

${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}}$

тобто, що

${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln x}}=1.}$

Це твердження — теорема про розподіл простих чисел. Воно еквівалентне твердженню

${\displaystyle \lim \limits _{x\to +\infty }{\frac {\pi (x)}{\operatorname {li} (x)}}=1}$

де ${\displaystyle \operatorname {li} }$ — інтегральний логарифм. Теорему про прості числа вперше довів 1896 року Жак Адамар і незалежно Валле-Пуссен, використовуючи дзета-функцію Рімана, яку 1859 року ввів Ріман.

Точніше зростання ${\displaystyle \pi (x)}$ зараз описують як

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O{\bigl (}xe^{-{\sqrt {\ln x}}/15}{\bigr )}}$

де ${\displaystyle O}$ позначає O велике. Коли x не дуже велике, ${\displaystyle \operatorname {li} (x)}$ перевищує ${\displaystyle \pi (x)}$, проте різниця ${\displaystyle \pi (x)-\operatorname {li} (x)}$ змінює свій знак нескінченне число разів, найменше натуральне число, для якого відбувається зміна знака, називається числом Ск'юза.

Доведення теореми про прості числа, що не використовують дзета-функції або комплексного аналізу, знайшли 1948 року Атле Сельберг і Пал Ердеш (здебільшого незалежно)^[5].

У таблиці показано зростання функцій ${\displaystyle \pi (x),{\frac {x}{\ln x}},\operatorname {li} (x)}$ за степенями 10^[3][6][7][8].

x	π(x)	π(x) − x / ln x	li(x) − π(x)	x / π(x)	π(x)/x (частка простих чисел)
10	4	−0,3	2,2	2,500	40 %
102	25	3,3	5,1	4,000	25 %
103	168	23	10	5,952	16,8 %
104	1 229	143	17	8,137	12,3 %
105	9 592	906	38	10,425	9,59 %
106	78 498	6 116	130	12,740	7,85 %
107	664 579	44 158	339	15,047	6,65 %
108	5 761 455	332 774	754	17,357	5,76 %
109	50 847 534	2 592 592	1 701	19,667	5,08 %
1010	455 052 511	20 758 029	3 104	21,975	4,55 %
1011	4 118 054 813	169 923 159	11 588	24,283	4,12 %
1012	37 607 912 018	1 416 705 193	38 263	26,590	3,76 %
1013	346 065 536 839	11 992 858 452	108 971	28,896	3,46 %
1014	3 204 941 750 802	102 838 308 636	314 890	31,202	3,20 %
1015	29 844 570 422 669	891 604 962 452	1 052 619	33,507	2,98 %
1016	279 238 341 033 925	7 804 289 844 393	3 214 632	35,812	2,79 %
1017	2 623 557 157 654 233	68 883 734 693 281	7 956 589	38,116	2,62 %
1018	24 739 954 287 740 860	612 483 070 893 536	21 949 555	40,420	2,47 %
1019	234 057 667 276 344 607	5 481 624 169 369 960	99 877 775	42,725	2,34 %
1020	2 220 819 602 560 918 840	49 347 193 044 659 701	222 744 644	45,028	2,22 %
1021	21 127 269 486 018 731 928	446 579 871 578 168 707	597 394 254	47,332	2,11 %
1022	201 467 286 689 315 906 290	4 060 704 006 019 620 994	1 932 355 208	49,636	2,01 %
1023	1 925 320 391 606 803 968 923	37 083 513 766 578 631 309	7 250 186 216	51,939	1,92 %
1024	18 435 599 767 349 200 867 866	339 996 354 713 708 049 069	17 146 907 278	54,243	1,84 %
1025	176 846 309 399 143 769 411 680	3 128 516 637 843 038 351 228	55 160 980 939	56,546	1,77 %
1026	1 699 246 750 872 437 141 327 603	28 883 358 936 853 188 823 261	155 891 678 121	58,850	1,70 %
1027	16 352 460 426 841 680 446 427 399	267 479 615 610 131 274 163 365	508 666 658 006	61,153	1,64 %

В OEIS перша колонка значень ${\displaystyle \pi (x)}$ — це послідовність A006880, ${\displaystyle \pi (x)-\left\lfloor {\frac {x}{\ln x}}+0{,}5\right\rfloor }$ — послідовність A057835, а ${\displaystyle \lfloor \operatorname {li} (x)+0{,}5\rfloor -\pi (x)}$ — послідовність A057752.

Простий спосіб знайти ${\displaystyle \pi (x)}$, якщо ${\displaystyle x}$ не дуже велике, — скористатися решетом Ератосфена, яке видає прості, що не перевищують ${\displaystyle x}$, і підрахувати їх.

Більш продуманий спосіб обчислення ${\displaystyle \pi (x)}$ запропонував Лежандр: дано ${\displaystyle x}$, якщо ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k}}$ — різні прості числа, число цілих чисел, що не перевищують ${\displaystyle x}$ і не діляться на всі ${\displaystyle p_{i}}$ дорівнює

${\displaystyle \lfloor x\rfloor -\sum _{i}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}}}\right\rfloor +\sum _{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}}}\right\rfloor -\sum _{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p_{i}p_{j}p_{k}}}\right\rfloor +\cdots }$

(де ${\displaystyle \lfloor \cdots \rfloor }$ позначає цілу частину). Отже, отримане число дорівнює

${\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1}$

якщо ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{k}}$ — це всі прості числа, що не перевищують ${\displaystyle {\sqrt {x}}}$.

У 1870—1885 роках у серії статей Ернст Майссель^[ru] описав (і використав) практичний комбінаторний спосіб обчислення ${\displaystyle \pi (x)}$. Нехай ${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots ,p_{n}}$ — перші ${\displaystyle n}$ простих, позначимо ${\displaystyle \Phi (m,n)}$ кількість натуральних чисел, що не перевищують ${\displaystyle m}$, які не діляться на жодне ${\displaystyle p_{i}}$. Тоді

${\displaystyle \Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \left(\left[{\frac {m}{p_{n}}}\right],n-1\right)}$

Візьмемо натуральне ${\displaystyle m}$, якщо ${\displaystyle n=\pi \left({\sqrt[{3}]{m}}\right)}$ і якщо ${\displaystyle \mu =\pi \left({\sqrt {m}}\right)-n}$, то

${\displaystyle \pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum _{k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p_{n+k}}}\right)}$

Використовуючи цей підхід, Майссель вирахував ${\displaystyle \pi (x)}$ для ${\displaystyle x=5\cdot 10^{5};10^{6};10^{7};10^{8}}$.

1959 року Деррік Генрі Лемер^[en] розширив і спростив метод Майсселя. Визначимо, для дійсного ${\displaystyle m}$ та для натуральних ${\displaystyle n,k}$ величину ${\displaystyle P_{k}(m,n)}$ як кількість чисел, що не перевищують m і мають рівно k простих множників, причому всі вони перевищують ${\displaystyle p_{n}}$. Крім того, нехай ${\displaystyle P_{0}(m,n)=1}$. Тоді

${\displaystyle \Phi (m,n)=\sum _{k=0}^{+\infty }P_{k}(m,n)}$

де сума явно завжди має скінченне число ненульових доданків. Нехай ${\displaystyle y}$ — ціле, таке, що ${\displaystyle {\sqrt[{3}]{m}}\leqslant y\leqslant {\sqrt {m}}}$, і нехай ${\displaystyle n=\pi (y)}$. Тоді ${\displaystyle P_{1}(m,n)=\pi (m)-n}$ і ${\displaystyle P_{k}(m,n)=0}$ при ${\displaystyle k\geqslant 3}$. Отже

${\displaystyle \pi (m)=\Phi (m,n)+n-1-P_{2}(m,n)}$

Обчислення ${\displaystyle P_{2}(m,n)}$ можна отримати так:

${\displaystyle P_{2}(m,n)=\sum _{y<p\leqslant {\sqrt {m}}}\left(\pi \left({\frac {m}{p}}\right)-\pi (p)+1\right)}$

З іншого боку, обчислити ${\displaystyle \Phi (m,n)}$ можна за допомогою таких правил:

1. ${\displaystyle \Phi (m,0)=\lfloor m\rfloor }$
2. ${\displaystyle \Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi \left({\frac {m}{p_{b}}},b-1\right)}$

Використовуючи цей метод і IBM 701, Лемер зумів обчислити ${\displaystyle \pi \left(10^{10}\right)}$.

Надалі цей метод вдосконалили Lagarias, Miller, Odlyzko, Deleglise та Rivat^[9].

Китайський математик Hwang Cheng використав такі тотожності:^[10]

${\displaystyle e^{(a-1)\Theta }f(x)=f(ax),}$

${\displaystyle J(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\pi (x^{1/n})}{n}}}$

і, вважаючи ${\displaystyle x=e^{t}}$, виконуючи перетворення Лапласа обох частин і застосовуючи суму геометричної прогресії з ${\displaystyle e^{n\Theta }}$, отримав вираз:

${\displaystyle {\frac {1}{2{\pi }i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }g(s)t^{s}\,ds=\pi (t)}$

${\displaystyle {\frac {\ln \zeta (s)}{s}}=(1-e^{\Theta (s)})^{-1}g(s)}$

${\displaystyle \Theta (s)=s{\frac {d}{ds}}}$

Інші функції, що підраховують прості числа, також використовують, оскільки з ними зручніше працювати. Одна з них — функція Рімана, яку часто позначають як ${\displaystyle \Pi _{0}(x)}$ або ${\displaystyle J_{0}(x)}$. Вона має стрибок на 1/n для степенів простих ${\displaystyle p^{n}}$, причому в точці стрибка ${\displaystyle x}$ її значення дорівнює півсумі значень по обидва боки від ${\displaystyle x}$. Ці додаткові деталі потрібні для того, щоб її можна було визначити зворотним перетворенням Мелліна. Формально визначимо ${\displaystyle \Pi _{0}(x)}$ як

${\displaystyle \Pi _{0}(x)={\frac {1}{2}}{\bigg (}\sum _{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}\ +\sum _{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}{\bigg )}}$

де p просте.

Також можна записати

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\sum \limits _{n=2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\ln n}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\Lambda (x)}{\ln x}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi _{0}({\sqrt[{n}]{x}})}$

де ${\displaystyle \Lambda (n)}$ — функція Мангольдта та

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

Формула обернення Мебіуса дає

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi _{0}({\sqrt[{n}]{x}})}$

Використовуючи відоме співвідношення між логарифмом дзета-функції Рімана та функцією Мангольдта ${\displaystyle \Lambda }$, і використовуючи формулу Перрона отримаємо

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }\Pi _{0}(x)x^{-s-1}\,dx}$

Функція Рімана має твірну функцію

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }\Pi _{0}(n)x^{n}=\sum _{a=2}^{\infty }{\frac {x^{a}}{1-x}}-{\frac {1}{2}}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }{\frac {x^{ab}}{1-x}}+{\frac {1}{3}}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }{\frac {x^{abc}}{1-x}}-{\frac {1}{4}}\sum _{a=2}^{\infty }\sum _{b=2}^{\infty }\sum _{c=2}^{\infty }\sum _{d=2}^{\infty }{\frac {x^{abcd}}{1-x}}+\cdots }$

Функції Чебишова^[en] — це функції, що підраховують степені простих чисел ${\displaystyle p^{n}}$ з вагою ${\displaystyle \ln p}$:

${\displaystyle \theta (x)=\sum _{p\leqslant x}\ln p}$

${\displaystyle \psi (x)=\sum _{p^{n}\leqslant x}\ln p=\sum _{n=1}^{\infty }\theta ({\sqrt[{n}]{x}})=\sum _{n\leqslant x}\Lambda (n).}$

Формули для функцій, які підраховують прості числа, бувають двох видів: арифметичні формули та аналітичні формули. Аналітичні формули для таких функцій вперше використано для доведення теореми про прості числа. Вони походять від робіт Рімана і Мангольдта^[de] і загалом відомі як явні формули^[11].

Існує такий вираз для ${\displaystyle \psi }$ -функції Чебишова:

${\displaystyle \psi _{0}(x)=x-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2})}$

де

${\displaystyle \psi _{0}(x)=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.}$

Тут ${\displaystyle \rho }$ пробігає нулі дзета-функції в критичній смузі, де дійсна частина ${\displaystyle \rho }$ лежить між нулем та одиницею. Формула істинна для всіх ${\displaystyle x>1}$. Ряд за коренями збігається умовно, і його можна взяти в порядку абсолютного значення зростання уявної частини коренів. Зауважимо, що аналогічна сума за тривіальними коренями дає останній доданок у формулі.

Для ${\displaystyle \Pi _{0}(x)}$ маємо таку складну формулу

${\displaystyle \Pi _{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\ln 2+\int _{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\ln t}}.}$

Знову ж, формула істинна для всіх ${\displaystyle x>1}$, де ${\displaystyle \rho }$ — нетривіальні нулі дзета-функції, впорядковані за їхнім абсолютним значенням, і, знову, останній інтеграл береться зі знаком «мінус» і є такою самою сумою, але за тривіальними нулями. Вираз ${\displaystyle \operatorname {li} (x^{\rho })}$ у другому члені можна розглянути як ${\displaystyle \operatorname {Ei} (\rho \ln x)}$, де ${\displaystyle \operatorname {Ei} }$ — аналітичне продовження інтегральної показникової функції на комплексну площину з гілкою, вирізаною вздовж прямої ${\displaystyle x<0}$.

Отже, формула обернення Мебіуса дає нам^[12]

${\displaystyle \pi _{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum _{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {arctg} } {\frac {\pi }{\ln x}}}$

істинне для ${\displaystyle x>1}$, де

${\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})=1+\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}}$

називається R-функцією також на честь Рімана.^[13] Останній ряд у ній відомий як ряд Грама^[en][14] і збігається для всіх ${\displaystyle x>0}$.

Сума за нетривіальними нулями дзета-функції у формулі для ${\displaystyle \pi _{0}(x)}$ описує флуктуації ${\displaystyle \pi _{0}(x)}$, тоді як інші доданки дають гладку частину пі-функції,^[15] тому можна використати

${\displaystyle \operatorname {R} (x)-{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {arctg} } {\frac {\pi }{\ln x}}}$

як найкраще наближення для ${\displaystyle \pi (x)}$ для ${\displaystyle x>1}$.

Амплітуда «шумної» частини евристично оцінюється як ${\displaystyle {\sqrt {x}}/\ln x}$ тому флуктуації в розподілі простих можна явно представити ${\displaystyle \Delta }$-функцією:

${\displaystyle \Delta (x)=\left(\pi _{0}(x)-\operatorname {R} (x)+{\frac {1}{\ln x}}-{\frac {1}{\pi }}\mathop {\mathrm {arctg} } {\frac {\pi }{\ln x}}\right){\frac {\ln x}{\sqrt {x}}}.}$

Великі таблиці значень ${\displaystyle \Delta (x)}$ доступні тут^[7].

Тут виписано деякі нерівності для ${\displaystyle \pi (x)}$.

${\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}<\pi (x)<1{,}25506\cdot {\frac {x}{\ln x}}\qquad x\geqslant 17.}$

Ліва нерівність виконується при ${\displaystyle x\geqslant 17}$, а права — при ${\displaystyle x>1.}$^[16]

Нерівності для ${\displaystyle n}$-го простого числа ${\displaystyle p_{n}}$:

${\displaystyle n\ln n+n\ln \ln n-3/2\cdot n<p_{n}<n\ln n+n\ln \ln n,\ n\geqslant 6.}$

Ліва нерівність істинна при ${\displaystyle n\geqslant 2}$, а права — при ${\displaystyle n\geqslant 6}$.

Має місце така асимптотика для ${\displaystyle n}$-го простого числа ${\displaystyle p_{n}}$:

${\displaystyle p_{n}=n\ln n\left(1+{\frac {\ln \ln n-1}{\ln n}}+{\frac {\ln \ln n-2}{\ln ^{2}n}}+{\frac {-1/2\ln ^{2}\ln n+3\ln \ln n-11/2}{\ln ^{3}n}}+O\left({\frac {\ln ^{3}\ln n}{\ln ^{4}n}}\right)\right)}$

Гіпотеза Рімана еквівалентна точнішій межі помилки наближення ${\displaystyle \pi (x)}$ інтегральним логарифмом, а отже й регулярнішому розподілу простих чисел

${\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\ln x).}$

Зокрема,^[17]

${\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln x,\qquad x\geqslant 2657.}$

• Теорема про розподіл простих чисел
• Постулат Бертрана
• Число Ск'юза

• К. Прахар. Распределение простых чисел. — Мир, 1967.
• В. И. Зенкин. Распределение простых чисел. Элементарные методы. Калининград, 2008.

• Chris Caldwell, The Nth Prime Page на сайті Prime Pages^[en].