Гіпотеза Рімана є однією з найважливіших гіпотез у математиці. Гіпотеза є твердженням про нулі дзета-функції Рімана. Різні геометричні та арифметичні об'єкти можна описати так званими глобальними L-функціями, які формально схожі на дзета-функцію Рімана. Можна тоді поставити те ж питання про корені цих L-функцій, що дає різні узагальнення гіпотези Рімана. Багато математиків вірять у істинність цих узагальнень гіпотези Рімана. Єдиний випадок, коли таку гіпотезу доведено, стосується алгебричному полі функцій^[en] (не в разі поля чисел).

Глобальні L-функції можна асоціювати з еліптичними кривими, числовими полями (в цьому випадку їх називають дзета-функціями Дедекінда), параболічними формами Маасса^[en] і характерами Діріхле (в цьому випадку їх називають L-функціями Діріхле). Коли гіпотеза Рімана формулюється для дзета-функцій Дедекінда, вона називається розширеною гіпотезою Рімана (РГР), а коли вона формулюється для L-функцій Діріхле, вона відома як узагальнена гіпотеза Рімана (УГР). Ці два твердження детальніше обговорюються нижче. Багато математиків використовують назву узагальнена гіпотеза Рімана для розширення гіпотези Рімана на всі глобальні L-функції, не тільки окремий випадок L-функцій Діріхле.

Узагальнену гіпотезу Рімана (для L-функцій Діріхле), мабуть, вперше сформулював Адольф Пілтц^[en] 1884 року^[1]. Подібно до початкової гіпотези Рімана узагальнена гіпотеза має далекосяжні наслідки про розподіл простих чисел.

Формальне твердження гіпотези. Характер Діріхле — це повністю мультиплікативна арифметична функція χ, така, що існує натуральне число k з χ (n + k) = χ (n) для всіх n і χ (n) = 0 якщо gcd (n, k)> 1. Якщо задано такий характер, ми визначаємо відповідну L-функцію Діріхле

${\displaystyle L(\chi ,s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s}}}}$

для будь-якого комплексного числа s із дійсною частиною > 1. За допомогою аналітичного продовження цю функцію можна продовжити до мероморфної функції, визначеної на всій комплексній площині. Узагальнена гіпотеза Рімана стверджує, що для будь-якого характеру Діріхле χ і будь-якого комплексного числа s з L (χ, s) = 0 виконується: якщо дійсне число s лежить між 0 і 1, то воно, насправді, дорівнює 1/2.

Випадок χ(n) = 1 для всіх n дає звичайну гіпотезу Рімана.

Теорема Діріхле стверджує, що коли a і d взаємно прості натуральні числа, то арифметична прогресія a, a+d, a+2d, a+3d, … містить нескінченно багато простих чисел. Нехай π(x, a,d) позначає число простих чисел у прогресії, які менші або дорівнюють x. Якщо узагальнена гіпотеза Рімана істинна, то для будь-яких взаємно простих a і d і будь-якого ε> 0

${\displaystyle \pi (x,a,d)={\frac {1}{\varphi (d)}}\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,dt+O(x^{1/2+\epsilon })}$ при ${\displaystyle x\to \infty }$,

де φ (d) — функція Ейлера, а ${\displaystyle O}$ — «O» велике. Це істотне посилення теореми про розподіл простих чисел.

Якщо ОГР істинна, то будь-яка власна підгрупа мультиплікативної групи ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ не містить чисел, менших від 2(ln n)², як і числа, взаємно прості з n і менші 3 (ln n) ^{2 [2]}. Іншими словами, ${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$ генерується набором чисел, менших 2 (ln n) ^2. Цей факт часто використовується в доказах і з нього випливає багато наслідків, наприклад (у припущенні вірності ОГР):

• Тест Міллера — Рабіна гарантовано працює за поліноміальний час (Тест з поліноміальним часом роботи, що не вимагає УГР, тест Агравала — Каяла — Сакса, опубліковано 2002 року).
• Алгоритм Гельфонда — Шенкса^[ru] гарантовано працює за поліноміальний час.
• Детермінований алгоритм Івануос — Карпінскі — Сахена^[3] для розкладання многочленів над скінченними полями з простим степенем n і гладким n — 1 працює за поліноміальний час.

Якщо УГР істинна, то для будь-якого простого p існує первісний корінь за модулем p (генератор мультипликативної групи цілих чисел за модулем p), менший від ${\displaystyle O((\ln p)^{6}).\,}$^[4]

Слабка гіпотеза Гольдбаха також випливає з узагальненої гіпотези Рімана. Доведення Гаральда Гельфготта^[ru] цієї гіпотези підтверджує УГР для декількох тисяч малих характерів, які дозволили довести гіпотезу для всіх цілих (непарних) чисел, більших від 10²⁹. Для цілих чисел нижче від цієї межі гіпотезу перевірено прямим перебором^[5].

У припущенні істинності УГР оцінку суми характерів у нерівності Поя — Виноградова^[en] можна покращити до ${\displaystyle O\left({\sqrt {q}}\log \log q\right)}$, де q — модуль характеру.

Нехай K — числове поле (скінченновимірне розширення поля раціональних чисел Q) з кільцем цілих O_K (це кільце є цілим замиканням цілих чисел Z в K). Якщо a — ідеал кільця O_K, відмінний від нульового ідеалу, ми позначимо його норму через Na. Дзета-функція Дедекінда над K тоді визначається як

${\displaystyle \zeta _{K}(s)=\sum _{a}{\frac {1}{(Na)^{s}}}}$

для будь-якого комплексного числа s із дійсною частиною > 1.

Дзета-функція Дедекінда задовольняє функціональному рівнянню і може бути розширена аналітичним продовженням на всю комплексну площину. В результуючій функції закодовано важливу інформацію про числове поле K. Розширена гіпотеза Рімана стверджує, що для будь-якого числового поля K і будь-якого комплексного числа s, для якого ζ_K(s) = 0, виконується: якщо дійсна частина числа s лежить між 0 і 1, то вона, насправді, дорівнює 1/2.

Початкова гіпотеза Рімана випливає з розширеної гіпотези, якщо взяти числове поле Q з кільцем цілих чисел Z.

З РГР випливає ефективна версія^[6] теореми Чеботарьова про щільність^[en]: якщо L/K є скінченним розширенням Галуа з групою Галуа G, а C є об'єднанням класів суміжності G, число нерозгалужених простих^[en] ідеалів K з нормою нижче x із класом суміжності Фробеніуса в C дорівнює

${\displaystyle {\frac {|C|}{|G|}}{\Bigl (}\mathrm {li} (x)+O{\bigl (}{\sqrt {x}}(n\log x+\log |\Delta |){\bigr )}{\Bigr )},}$

де константа в нотації O-велике абсолютна, n є степенем L над Q, а Δ є його дискримінантом.

• Гіпотеза Артіна^[en]
• L-функція Діріхле
• Клас Селберга^[en]
• Велика гіпотеза Рімана^[en]

• Lagarias J.C., Odlyzko A.M. Effective Versions of the Chebotarev Theorem // Algebraic Number Fields. — 1977. — 3 грудня. — С. 409–464.
• Eric Bach. Explicit bounds for primality testing and related problems // Mathematics of Computation. — 1990. — Т. 55, вип. 191 (3 грудня). — С. 355–380. — DOI:10.2307/2008811.
• Gabor Ivanyos, Marek Karpinski, Nitin Saxena. Schemes for Deterministic Polynomial Factoring // Proc. ISAAC. — 2009. — 3 грудня. — С. 191–198. — ISBN 9781605586090. — DOI:10.1145/1576702.1576730.
• Helfgott H. A. Major arcs for Goldbach's theorem. — 2013. — 3 грудня. — arXiv:1305.2897v3.
• Victor Shoup. Searching for primitive roots in finite fields // Mathematics of Computation. — 1992. — Т. 58, вип. 197 (3 грудня). — С. 369–380. — DOI:10.2307/2153041.
• Harold Davenport. Multiplicative number theory. — Third edition, Revised and with a preface by Hugh L. Montgomery. — New York : Springer-Verlag, 2000. — Т. 74. — С. xiv+177. — (Graduate Texts in Mathematics) — ISBN 0-387-95097-4.
• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), hypothesis, generalized Riemann hypothesis, generalized, Математична енциклопедія, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4