Свою футбольну кар'єру Тома Башич починав у молодіжній команді клубу «Загреб». Але у 2014 році футболіст підписав перший професійний контракт з клубом «Хайдук».[1] І перший сезон у дорослому футболі Башич провів в оренді у клубі Другого хорватського дивізіону «Рудеш». Влітку 2015 року Башич повернувся до «Хайдука» і в серпні зіграв свій перший матч у складі клуба.[2]
У серпні 2018 року Башич підписав чотирирічний контракт з французьким клубом «Бордо».[3] Сума контракту становила 3,5 млн євро. Перший матч у новій команді Башич провів 12 серпня.[4]
У серпні 2021 року футболіст перейшов до італійського «Лаціо».[5] Його дебют у клубі прийшовся на матч Ліги Європи проти російського «Локомотива».[6]