Народився 11(24) березня 1911 року в місті Симбірську (тепер Ульяновськ). Закінчив 8 класів середньої школи і професійний технікум, після чого працював токарем на заводі в місті Пензі. У 1929 році закінчив Пензенську школу пілотів Цивільного повітряного флоту.
У серпні 1933 року став слухачем Військової авіашколи пілотів імені Сталіна, розташованої в Єйську. З листопада 1933 року служив в 18-й важкій авіаційній бригаді, що дислокувалася у Запоріжжі, на посадах молодшого льотчика 70-ї важкої авіаескадрильї, командира корабля 71-ї важкої бомбардувальної ескадрильї, а з червня 1936 року — на посаді інструктора-льотчика управління бригади.
У березні 1937 року був переведений в Бориспіль на посаду інспектора-льотчика з техніки пілотування авіаційної бригади. У травні 1937 року був призначений на посаду командира 15-ї окремої розвідувальної ескадрильї, в серпні 1938 року — на посаду інспектора з техніки пілотування у 69-му винищувальному авіаційному полку, в жовтні 1938 року — на посаду старшого інспектора з техніки пілотування, а потім — на посаду інспектора-льотчика з техніки пілотування Управління ВПС Київського військового округу.
У грудні 1939 року був направлений на навчання на Липецькі вищі авіаційні курси, по закінченні яких у червні 1940 року був призначений на посаду командира 38-го винищувального авіаційного полку 4-ї змішаної авіаційної дивізії Прибалтійського військового округу.
З початком німецько-радянської війни продовжував командувати 38-м винищувальним авіаційним полком на Північно-Західному фронті. У жовтні 1941 року був призначений на посаду командира 6-ї змішаної авіаційної дивізії Північно-Західного фронту, в грудні 1941 року — на посаду командира ВПС 28-ї армії цього ж фронту, а в липні 1942 року — на посаду командира 268-ї винищувальної авіаційної дивізії, незабаром перетвореної в 6-у гвардійську авіаційну дивізію. Дивізія брала участь у бойових діях на Сталінградському і Південному фронтах, відзначилася в ході Сталінградської битви.
З 29 грудня 1943 року був призначений на посаду командира 13-го винищувального авіаційного корпусу (16-ї повітряної армії, 1-й Білоруський фронт). Генерал-майор авіації Борис Арсенійович Сіднєв за час війни виконав 140 бойових вильотів, провів 31 повітряний бій, збив 4 літаки противника.
В Одесі, у сквері на Адміральському проспекті, встановлена пам'ятна стела на честь льотчиків — Героїв Радянського Союзу, громадян Одеси, на якій увічнено ім'я Сіднєва.
Література
Великая Отечественная: Комкоры. Военный биографический словарь / Под общей редакцией М. Г. Вожакина. — М.; Жуковский: Кучково поле, 2006. — Т. 2. — С. 414—415.
Великая Отечественная: Комдивы. Военный биографический словарь / В. П. Горемыкин. — М.: Кучково поле, 2014. — Т. 2. — С. 806-807.