В статистиці степеневий розподіл (англ. power law) — це така функціональна залежність між двома величинами, при котрій відносна зміна однієї величини призводить до пропорційної відносної зміни іншої величини, незалежно від початкових значень цих величин: залежність однієї величини від іншої являє собою степеневу функцію. Наприклад, площа квадрата має степеневу залежність від довжини його сторони: якщо довжина буде збільшена удвічі, то площа збільшиться вчетверо.^[1]

В багатьох фізичних, біологічних та штучних явищах спостерігаються розподіли, відповідні степеневому закону в різних масштабах: наприклад, розміри місячних кратерів і сонячних спалахів,^[2] закономірності харчування різних видів,^[3] активність популяцій нейронів,^[4] частота вживання слів в більшості мов, розповсюдженість прізвищ, кількість видів^[en] в кладах організмів,^[5] масштаби аварій в енергосистемах, число карних звинувачень на одного злочинця, кількість вивержень вулканів,^[6] людські оцінки інтенсивності стимулів^[7][8] і багато інших величин.^[9] Емпіричні розподіли можуть відповідати степеневому закону на всьому діапазоні своїх значень, або, наприклад, в хвості. Затухання звукових коливань^[en] проходить за степеневим законом у широких смугах частот у багатьох складних середовищах. Аллометричні закономірності для відношень між біологічними змінними є одними з самих відомих прикладів степеневих законів в природі.

Для степеневого закону характерна масштабна інваріантність. Якщо виконується ${\displaystyle f(x)=ax^{-k}}$, то масштабування аргументу ${\displaystyle x}$ на постійний коефіцієнт ${\displaystyle c}$ призведе до пропорційного масштабування самої функції. Тобто:

${\displaystyle f(cx)=a(cx)^{-k}=c^{-k}f(x)\propto f(x),\!}$

де ${\displaystyle \propto }$ означає пряму пропорційність. Іншими словами, Множення аргументу на сталу величину ${\displaystyle c}$ призводить просто до множення значень функції на сталу величину ${\displaystyle c^{-k}}$. Таким чином, всі степеневі закони з заданим показником ступеню еквівалентні з точністю до множення на константу, оскільки всі вони являють собою лише масштабування версії один одного. Це породжує лінійну залежність між логарифмами величин ${\displaystyle f(x)}$ та ${\displaystyle x}$, і пряму лінію на графіку у подвійному логарифмічному масштабі (log–log), яку часто вважають характерною ознакою степеневого закону. В реальних даних ця ознака є необхідною, але не достатньою, щоб зробити висновок щодо наявності степеневого закону. Існує багато способів згенерувати скінченні об'єми даних, що імітують відповідність степеневому закону, але відхиляються від нього в асимптотичній межі (наприклад, якщо процес генерації даних підпорядковується логнормальному розподілу). Перевірка моделей на відповідність степеневому закону є актуальною областю досліджень в статистиці, див. нижче.

Степеневий закон ${\displaystyle x^{-k}}$ має строго визначене середнє значення при ${\displaystyle x\in [1,\infty )}$, тільки якщо ${\displaystyle k>2}$, і має скінченну дисперсію, тільки якщо ${\displaystyle k>3}$. Для більшості відомих степеневих законів в природі значення показника ступеню такі, що середнє значення є строго визначеним, а дисперсія ні, тому для них існує можливість виникнення подій типу «чорний лебідь».^[10] Це можна показати на прикладі наступного уявного експерименту:^[11] уявіть себе в кімнаті з друзями і оцініть середньомісячний прибуток у цій кімнаті. Тепер уявіть, що в цю кімнату увійшла сама заможна людина у світі з місячним прибутком близько 1 мільярда US$. Як зміниться значення середньомісячного доходу в кімнаті? Розподіл доходів підпорядковується степеневому закону, відомому як розподіл Парето (наприклад, капітали американців, розподіленні за степеневим законом з показником ступеню 2).

З одного боку, це не дозволяє коректно застосовувати традиційну статистику, засновану на дисперсії і середньоквадратичному відхиленні (наприклад, регресійний аналіз). З іншого, це дозволяє здійснювати ефективне за витратами втручання.^[11] Наприклад, нехай шкідливі викиди автомобілів розподіленні по степеневому закону серед автомобілів (тобто більшість забруднень здійснюється дуже невеликим числом автомобілів). Тоді буде достатньо прибрати з доріг цю невелику кількість автомобілів, щоб суттєво знизити цю кількість викидів.^[12]

Медіана існує: для степеневого закону x ^–k с показником ступеню ${\displaystyle k>1}$ вона приймає значення 2^{1/(k — 1)}x_min, де x_min — це мінімальне значення, для якого виконується степеневий закон.^[13]

Еквівалентність степеневого розподілу з особливою масштабною експонентою може скоріше мати пояснення в теорії динамічних процесів, ніж виводитися з відношень степеневого розподілу. У фізиці, наприклад, фазовий перехід в термодинамічних системах асоціюється з появою степеневого розподілу деяких величин, експоненти відносяться до критичних індексів системи. Різні системи з однаковими критичними індексами — це ті, що демонструють ідентичну поведінку при наближенні до критичного значення — може буди продемонстрована за допомогою теорії ренормалізаційних груп, поділяти однакову фундаментальну динаміку. Наприклад, поведінка води та CO₂ в їх точках кипіння потрапляє в однакові класи універсальності, тому, що вони мають однакові критичні індекси.^{[джерело?][прояснити]} По факту, майже вся суть фазових переходів описана невеличкою множиною класів універсальності. Подібні спостереження були зроблені, хоча й не так всеосяжно, для різних самоорганізованих критичних систем, де критичні точки систем — це атрактор. Формально, цей динамічний обмін відноситься до універсальності^[en], і системи з точно такими ж критичними індексами називаються тими, що належать класу універсальності.

Науковий інтерес до відношень степеневого розподілу частково випливає з легкості, з якою деякі поширені класи механізмів їх породжують.^[14] Наявність степеневого розподілу на деяких даних може вказати на специфіку поведінки механізмів, які можуть лежати в основі природного феномену в цьому питанні, та може визначати глибокі зв'язки з іншими, здавалося ніяк не пов'язаними, системами;^[15] див. також універсальність вище. Поширеність степеневого розподілу в фізиці частково походить з обмежень на розмірності, у той час як в складних системах, степеневий розподіл несе відбиток ієрархій або специфічних випадкових процесів. У доволі рідких випадках степеневий розподіл є розподілом Парето, структурною подібністю фракталів або законів масштабування в біологічних системах. Пошук причин виникнення степеневого розподілу та зусилля по його виявленню та доведенню їх в реальному житті є актуальною темою у багатьох галузях науки, включаючи фізику, комп'ютерні науки, мовознавство, геофізику, нейронауку та інші.

Однак, найбільший інтерес до степеневого розподілу походить з розподілу ймовірностей: розподіл великої кількості різноманітних величин здається виводиться з формул степеневого розподілу, принаймні в верхній частині(значні події). Поведінка цих значних подій прив'язує ці величини до вивчення теорії екстремальних значень^[en], яка розглядає частоти вкрай рідкісних подій як біржовий крах та великі стихійні лиха. Це головним чином вивчення статистичних процесів, названих «степеневим розподілом».

В емпіричному контексті, апроксимація в степеневому розподілі ${\displaystyle o(x^{k})}$ зазвичай включає відхилення моменту ${\displaystyle \varepsilon }$, яка може представлятися невизначеністю в спостережених даних (можливість виміру або помилки вибірки) або прокладає простий шлях до спостереження відхилень з функцією степеневого розподілу (можливо для випадкових процесів):

${\displaystyle y=ax^{k}+\varepsilon .\!}$

Математично, строгий степеневий розподіл не може бути розподілом ймовірностей, але розподіл представлений усіченою степеневою функцією можливий: ${\displaystyle p(x)=Cx^{-\alpha }}$ for ${\displaystyle x>x_{\text{min}}}$ де експонента ${\displaystyle \alpha }$ більше ніж 1, мінімальне значення ${\displaystyle x_{\text{min}}}$ потребує іншого розподілу, що має нескінченну площу x наближаючись до 0, та константа C — це вимірювальний фактор для забезпечення того, що вся площа буде рівнятися 1, як необхідна умова розподілу ймовірностей. Частіше використовується асимптотичний степеневий розподіл — який вірний тільки в межі; дивіться розподіл ймовірностей степеневого розподілу для більших деталей. Типова експонента спадає в межах ${\displaystyle 2<\alpha <3}$, хоча не завжди.^[9]

Примітки

Бібліографія

• Bak, Per (1997) How nature works, Oxford University Press ISBN 0-19-850164-1
• Clauset, A.; Shalizi, C. R.; Newman, M. E. J. (2009). Power-Law Distributions in Empirical Data. SIAM Review. 51 (4): 661—703. arXiv:0706.1062. Bibcode:2009SIAMR..51..661C. doi:10.1137/070710111.
• Laherrère, J.; Sornette, D. (1998). Stretched exponential distributions in nature and economy: "fat tails" with characteristic scales. The European Physical Journal B. 2 (4): 525—539. arXiv:cond-mat/9801293. Bibcode:1998EPJB....2..525L. doi:10.1007/s100510050276.
• Mitzenmacher, M. (2004). A Brief History of Generative Models for Power Law and Lognormal Distributions (PDF). Internet Mathematics. 1 (2): 226—251. doi:10.1080/15427951.2004.10129088.
• Alexander Saichev, Yannick Malevergne and Didier Sornette (2009) Theory of Zipf's law and beyond, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Volume 632, Springer (November 2009), ISBN 978-3-642-02945-5
• Simon, H. A. (1955). On a Class of Skew Distribution Functions. Biometrika. 42 (3/4): 425—440. doi:10.2307/2333389. JSTOR 2333389.
• Sornette, Didier (2006). Critical Phenomena in Natural Sciences: Chaos, Fractals, Self-organization and Disorder: Concepts and Tools. Springer Series in Synergetics (вид. 2nd). Heidelberg: Springer. ISBN 978-3-540-30882-9.
• Mark Buchanan (2000) Ubiquity, Weidenfeld & Nicolson ISBN 0-297-64376-2
• Stumpf, M.P.H.; Porter, M.A. (2012). Critical Truths about Power Laws. Science. 335 (6069): 665—6. Bibcode:2012Sci...335..665S. doi:10.1126/science.1216142. PMID 22323807.