Почав займатись футболом у місцевому клубі «Вікенс», з якого 2002 року потрапив до структури «Гельсінгборга», де пройшов усі щаблі підготовки.
У дорослому футболі дебютував 2008 року виступами за «Гельсінгборг», в якій провів три сезони, взявши участь у 96 матчах чемпіонату. Більшість часу, проведеного у складі «Гельсінгборга», був основним гравцем атакувальної ланки команди і допоміг команді виграти національний кубок і суперкубок.
Своєю грою за цю команду привернув увагу представників тренерського штабу німецького «Вольфсбурга», до складу якого приєднався влітку 2011 року. У першому сезоні Расмус програв конкуренцію в нападі Маріо Манджукичу, а у сезоні 2012/13 — іншому хорвату Івиці Оличу.
9 серпня2013 року Йонссон приєднався на правах оренди на один рік до данського «Ольборга», допомігши клубу того ж сезону виграти національний чемпіонат і кубок. Влітку 2014 року, по завершенні терміну оренди, данський клуб викупив контракт гравця, підписавши з ним контракт на дворічний період. Наразі встиг відіграти за команду з Ольборга 19 матчів в національному чемпіонаті.
