Запит «
Матриця Хаусхолдера» перенаправляє сюди; див. також
інші значення.
Перетворення Хаусхолдера (оператор Хаусхолдера) — лінійне перетворення векторного простору , що описує його віддзеркалення (симетрію) щодо гіперплощини, яка проходить через початок координат.
Було запропоноване в 1958 американським математиком Елстоном Скотом Хаусхолдером.
Застосовується в лінійній алгебрі для QR-розкладу матриці.
Визначення
Якщо гіперплощина описується одиничним вектором , що є ортогональним до неї; та — скалярний добуток в , тоді
- — оператор Хаусхолдера.
Матриця Хаусхолдера має вигляд:
Властивості
- Матриця Хаусхолдера є ермітовою:
- Матриця Хаусхолдера є унітарною:
- Отже вона є інволюцією: .
- Перетворення відображає точку в точку
- Матриця Хаусхолдера має одне власне значення рівне -1, що відповідає власному вектору , усі інші власні значення дорівнюють (+1).
- Визначник матриці Хаусхолдера дорівнює -1.
- Перетворення Хаусхолдера в метричному просторі зберігає відстані[джерело?].
Див. також
Джерела