У дорослому футболі дебютував 2007 року виступами за команду клубу «Панатінаїкос», в якій провів шість сезонів, взявши участь у 47 матчах чемпіонату. Відзначався досить високою надійністю, пропускаючи в іграх чемпіонату в середньому менш як один гол за матч. За цей час виборов титул чемпіона Греції, ставав володарем Кубка Греції.
22 липня 2013 року уклав п'ятирічний контракт з італійським «Удінезе», проте відразу ж був відданий в оренду до представника іспанської Прімери«Гранади». Після сезону в Іспанії повернувся до Удіне, де став основним воротарем команди, провівши 37 з 38 ігор у серії А сезону 2014/15 і всі 38 у сезоні 2015/16. У сезоні 2016/17 залишався основною опцією тренерського штабу на воротарській позиції, проте в команді були й інші талановиті гравці цього амплуа, тож «Удінезе» був готовий розглядати можливість відпустити Карнезіса.
Влітку 2017 року новим клубом воротаря став англійський «Вотфорд», у якому він провів на умовах оренди сезон 2017/18.
За рік, влітку 2018, перейшов за 2,5 мільйона євро до «Наполі». У те ж міжсезоння неаполітанський клуб також орендував у лондонського «Арсенала» колумбійця Давіда Оспіну, який врешті-решт виграв у Карнезіса конкуренцію за місце основного голкіпера «Наполі» й невдовзі перейшов до нього на умовах повноцінного контракту.
Провів два сезони в статусі резервного воротаря «Наполі», після чого 4 вересня 2020 року уклав контракт на три роки із французьким «Ліллем».
2014 року був включений до заявки збірної на тогорічний чемпіонат світу у Бразилії. Був основним воротарем грецької команди на турнірі, взяв участь в усіх її матчах, включаючи гру 1/8 фіналу проти Коста-Рики, в якому греки поступилися у післяматчевих пенальті, припинивши боротьбу.
Згодом був основним голкіпером грецької команди по ходу відбору на Євро-2016 та відбору на ЧС-2018, утім до фінальної частини жодного із цих турнірів його збірна не пробилася.
