Ознака Єрмакова — критерій збіжності числових рядів з додатніми членами, встановлений українським математиком Василем Єрмаковим.
Формулювання теореми
Нехай функція неперервна, додатня і монотонно спадна для . Тоді, якщо для достатньо великих (для ) виконується нерівність:то ряд є збіжним, якщо ж (для ):то ряд є розбіжним.
Доведення теореми
- Нехай виконується нерівність:
Домножимо обидві частини нерівності на і проінтегруємо використовуючи підстановкузвідситак як , зменшуване в останніх дужках є додатнім. Тому розділивши нерівність наДодамо до обох частин інтеграл отримаємо
Враховуючи, що , при
Оскільки зі зростанням інтеграл зростає, то існує для нього кінцева границя при :Так як цей інтеграл є збіжним, то згідно з інтегральною ознакою Коші — Маклорена ряд також збігається.
- Нехай тепер має місце нерівність:Домножимо обидві частини цієї нерівності проінтегруємо, використовуємо в лівій частині підстановку: , отримаємо:Додамо до обох частин інтеграл Оскільки , то . Визначимо послідовність наступним чином:Використовуючи цю послідовність останню нерівність можна записати у вигляді:Сумуємо інтеграл за принципом тобто цей інтеграл необмежений при . Тому:
Оскільки цей інтеграл розбіжний, то згідно з інтегральною ознакою Коші — Маклорена ряд є розбіжним.
Література
- Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. — М.: Наука, 1970.
- .D. Polyanin, A.V. Manzhirov. Handbook of Mathematics for Engineers and Scientists. — 2006. — С. 340. — 1544 с. — ISBN 978-1420010510.
Посилання