Андрій Кузнецов прийшов у полтавську ДЮСШ № 2 у віці до 11 років і до 13 років займався волейболом у тренера Юрія Богданова, а потім перейшов до Владислава Агасьянца.
У радянські часи виступав за команди: 1982—1985 — «Іскра» (Одинцово), 1985—1991 — ЦСКА (Москва). У складі ЦСКА: 6-разовий чемпіон СРСР (1986—1991), володар Кубка СРСР 1985, 5-разовий володар Кубка європейський чемпіонів (1986—1989, 1991), триразовий володар Суперкубка Європи (1987, 1988, 1991). У складі збірної Москви у 1986 році став срібним призером Спартакіади народів СРСР.
З 1991 року грав за італійські клуби: 1991—1993 — «Лаціо» (Рим), 1993—1994 — «Джоя-дель-Колле», 1994 — «Куатро Торрі» (Феррара).
У складі молодіжної збірної СРСР ставав чемпіоном Європи 1984 і чемпіоном світу 1985.
У збірних СРСР, СНД і Росії в офіційних змаганнях виступав у 1987—1994 роках. У їх складі: срібний призер Олімпійських ігор 1988, бронзовий призер чемпіонату світу 1990, бронзовий призер розіграшу Кубка світу 1989, дворазовий чемпіон Європи (1987, 1991), бронзовий призер європейської першості 1993, бронзовий (1991) і срібний (1993) призер Світової ліги, учасник Олімпійських ігор 1992, чемпіонату Европи 1989, розіграшів Світової ліги 1990, 1992 і 1994.
У 1991 і 1993 роках виступав у складі збірної світу «Всі зірки».
