У алгебричній геометрії конструкція Proj є аналогом конструкції афінних схем як спектрів кілець. Одержані за допомогою її допомогою схеми мають властивості проєктивних просторів і проєктивних многовидів.

У цій статті всі кільця вважаються комутативними кільцями з одиницею.

Нехай ${\displaystyle S}$ — градуйоване кільце, де

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

є розкладом у пряму суму, асоційованим з градуюванням.

Позначимо через ${\displaystyle S_{+}}$ ідеал ${\displaystyle \bigoplus _{i>0}S_{i}.}$ Нехай множина Proj S є множиною всіх однорідних простих ідеалів, що не містять ${\displaystyle S_{+}.}$

Надалі для стислості Proj S також позначається X.

На Proj S можна ввести топологію, що називається топологією Зариського, якщо визначити замкнутими множинами множини виду

${\displaystyle V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} \,S\mid a\subseteq p\},}$

де a — однорідний ідеал S. Як і у випадку афінних схем, легко перевіряється, що V(a) — замкнуті множині деякої топології на X.

Дійсно, якщо ${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$ — сім'я ідеалів, то ${\displaystyle \bigcap V(a_{i})=V(\Sigma a_{i})}$ і якщо множина I є скінченною, то ${\displaystyle \bigcup V(a_{i})=V(\Pi a_{i})}$.

Еквівалентно, можна почати з відкритих множин і визначити

${\displaystyle D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} \,S\mid a\;\not \subseteq \;p\}.}$

Стандартне скорочення полягає в тому, щоб позначати D(Sf) як D(f), де Sf — ідеал, породжений f. Для будь-якого a, D(a) і V(a) є доповнюючими множинами і наведене вище доведення показує, що D(a) утворюють топологію на Proj S. Перевага цього підходу в тому, що D(f), де f пробігає всі однорідні елементи S, утворюють базис цієї топології, що є необхідним інструментом для вивчення Proj S, аналогічно випадку спектрів кілець.

На Proj S можна ввести пучок, що називається структурним пучком і перетворює його в схему. Як і в випадку конструкції Spec існує кілька способів це зробити: найбільш прямий з яких нагадує конструкцію регулярних функцій на проєктивному многовиді в класичній алгебричній геометрії. Для будь-якої відкритої множини U в Proj S кільце ${\displaystyle O_{X}(U)}$ задається як множина всіх функцій

${\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)}}$

(Де ${\displaystyle S_{(p)}}$ позначає підкільце локального кільця ${\displaystyle S_{p}}$ точки ${\displaystyle p}$, що складається з часток однорідних елементів однакового степеня) таких, що для кожного простого ідеалу p в U:

1. F(p) є елементом ${\displaystyle S_{(p)}}$;
2. Існує відкрита підмножина V множини U, що містить p, і однорідні елементи s, t кільця S однакового степеня, такі, що для кожного простого ідеалу q в V:
   • t не належить q;
   • F(q) = s/t.

З визначення негайно випливає, що ${\displaystyle O_{X}(U)}$ утворюють пучок кілець ${\displaystyle O_{X}}$ на Proj S, і можна показати, що пара (Proj S, ${\displaystyle O_{X}}$) є схемою. А саме обмеження Proj S на відкриту підмножину D(f) є ізоморфним афінній схемі ${\displaystyle (\operatorname {Spec} S_{f}^{(0)},O_{\operatorname {Spec} S_{f}^{(0)}}),}$ де ${\displaystyle S_{f}^{(0)}}$ позначає кільце елементів нульового степеня у локалізації ${\displaystyle S_{p},}$ тобто кільце елементів виду ${\displaystyle {\frac {g}{f^{m}}}\;g\in S_{d}m,f\in S_{d}.}$

Оскільки множини D(f) для однорідних f утворюють базу топології Зариського, то Proj S дійсно є схемою.

Істотною властивістю S в конструкції вище була можливість побудови локалізацій ${\displaystyle S_{(p)}}$ для кожного простого ідеалу p в S. Цією властивістю також володіє будь-який градуйований модуль M над S, і, отже, конструкція з розділу вище із невеликими змінами дозволяє побудувати для такого M пучок ${\displaystyle O_{X}}$-модулів на Proj S, що позначається ${\displaystyle {\tilde {M}}}$. За побудовою цей пучок є квазікогерентним. Якщо S породжується скінченною кількістю елементів степеня 1 (тобто є кільцем многочленів або його фактором), всі квазікогерентні пучки на Proj S утворюються із градуйованих модулів за допомогою цієї конструкції. ^[1] Відповідний градуйований модуль не є єдиним.

Окремим випадком пучка, асоційованого з градуйованим модулем є коли в якості M взяти саме S з іншим градуюванням: а саме, елементами степеня d модуля M є елементи степеня (d + 1) кільця S і M = S(1). Одержується квазікогерентний пучок ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ на Proj S, що позначається ${\displaystyle O_{X}(1)}$ або просто O (1) і називається скручуючим пучком Серра. Можна перевірити, що O(1) є оборотним пучком.

Одна з причин корисності O (1) полягає в тому, що він дозволяє відновити алгебричну інформацію про S, яка була втрачена в конструкції ${\displaystyle O_{X}}$ при переході до часток степеня 0. У випадку Spec A для кільця A, глобальні перетини структурного пучка є самим A, тоді як в нашому випадку глобальні перетини пучка ${\displaystyle O_{X}}$ складаються з елементів S ступеня 0. Якщо ми визначимо

${\displaystyle O(n)=\bigotimes _{i=1}^{n}O(1)}$

то кожне O(n) містить інформацію степеня n про S. Аналогічно, для пучка ${\displaystyle O_{X}}$-модулів N, асоційованого з S-модулем M можна визначити

${\displaystyle N(n)=N\otimes O(n)}$

і очікувати, що цей пучок містить втрачену інформацію про M. Це дозволяє припустити, хоча і неправильно, що S можна відновити з цих пучків; це насправді вірно, якщо S є кільцем многочленів.

Якщо A — кільце, то n-вимірний проєктивний простір над A за означенням є схемою

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} \,A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

Градуювання на кільці ${\displaystyle S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$ вводиться вважаючи, що кожен ${\displaystyle x_{i}}$ має степінь 1 і кожен елемент A має степінь 0 . Зіставляючи це з означенням O (1), даним вище, перетину O (1) - лінійні однорідні многочлени, породжені елементами ${\displaystyle x_{i}}$.

• Якщо взяти як базове кільце ${\displaystyle A=\mathbb {C} [\lambda ]}$, то ${\displaystyle {\text{Proj}}(A[X,Y,Z]/(ZY^{2}-X(X-Z)(X-\lambda Z)))}$ має канонічний проєктивний морфізм на афінну пряму ${\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1}}$, шари якого є еліптичними кривими, крім шарів над точками ${\displaystyle \lambda =0,1}$, над якими шари вироджуються в нодальні криві.
• Проєктивна гіперповерхня ${\displaystyle {\text{Proj}}\left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots X_{4}^{5})\right)}$ є прикладом тривимірної квінтики Ферма, яка також є многовидом Калабі — Яу.
• Зважений проєктивний простір можна побудувати, використовуючи кільця многочленів з нестандартними степенями змінних. Наприклад, зважений проєктивний простір ${\displaystyle \mathbb {P} (1,1,2)}$ відповідає ${\displaystyle {\text{Proj}}}$ кільця ${\displaystyle A[X_{0},X_{1},X_{2}]}$ де ${\displaystyle X_{0},X_{1}}$ мають ступінь ${\displaystyle 1}$, тоді як ${\displaystyle X_{2}}$ має ступінь 2.
• Біградуйоване кільце відповідає підсхемі добутку проєктивних просторів. Наприклад, біградуйована алгебра ${\displaystyle \mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]}$, де ${\displaystyle X_{i}}$ мають степінь ${\displaystyle (1,0)}$ і ${\displaystyle Y_{i}}$ мають степінь ${\displaystyle (0,1)}$, відповідає ${\displaystyle \mathbb {P} _{X}^{1}\times \mathbb {P} _{Y}^{1}}$.

• Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean. «Éléments de géométrie algébrique: II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes» [Архівовано 15 грудня 2018 у Wayback Machine.]. Publications Mathématiques de l’IHÉS. 8, 1961.
• Ueno, Kenji (1999), Algebraic geometry I. From algebraic varieties to schemes, Translations of Mathematical Monographs, American Mathematical Society, ISBN 9780821808627