Джонатан є вихованцем клубу з свого міста «Бонді», де його помітили скаути провідного французького клубу «Парі Сен-Жермена». З 12 до 17 років навчався в академії команди. З 2015 року став гравцем другої команди. 11 квітня 2015 року зіграв свій перший матч за дублерів проти «Манта», вийшовши на заміну у другому таймі і зігравши 10 хвилин[3]. Всього за другу команду провів 19 матчів, забив 4 м'ячі.
11 червня 2016 року підписав з ПСЖ стандартний трирічний контракт до 2019 року[4][5] і за наступний сезон взявши участь у 7 матчах у всіх турнірах, але так і не закріпився у столичній команді.
18 січня 2017 року перейшов на правах оренди у «Монпельє»[6], де провів наступні півтора сезони, після чого підписав п'ятирічний контракт з «Ліллем»[7]. Відіграв за команду з Лілля 121 матчів у національному чемпіонаті та забив 11 голів.
В кінці 2021 року Жонатан Іконе перейшов до італійської «Фіорентіни»[8].