PROFILPELAJAR.COM

Грани́чний цикл — це крива, до якої наближається фазова траєкторія двовимірної динамічної системи при автоколиваннях. Зазвичай є роз'язком системи кінетичних рівнянь, які описують дисипативну систему, тобто є однією з можливих фазових траєкторій. Граничні цикли виникають при біфуркаціях Гопфа.

Визначення

Розглянемо двовимірну автономну систему звичайних диференціальних рівнянь:

{\dot {x}}=f(x),

де $f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}$ гладка функція. Розв'язок цієї системи $x(t)$ заданий гладкою функцією $x:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}$ яка задовольняє систему диференціальних рівнянь. Траєкторія називається замкнутою, або періодичною, якщо розв'язок, з початковими умовами $x(0)=x_{0}\in \mathbb {R} ^{2}$ , є (не сталою) періодичною функцією, тобто існує час $\tau >0$ після якого система повертається до початкової точки ( $\forall t\in \mathbb {R} .~x(t+\tau )=x(t)$ ).

Граничний цикл — замкнута траєкторія у фазовому просторі двовимірної динамічної системи, до якої збігається хоча б одна фазова траєкторія при $t\rightarrow \infty$ або при $t\rightarrow -\infty$ . Граничний цикл називається:^[2]

Стійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі з обох боків при $t\rightarrow \infty$ .
Нестійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі з обох боків при $t\rightarrow -\infty$ .
Напівстійким якщо траєкторії збігаються до замкнутої кривої по спіралі при $t\rightarrow \infty$ з одного боку та при $t\rightarrow -\infty$ з іншого, або навпаки.

Приклади

Перший відомий приклад граничного циклу належить Пуанкаре, та був продемонстрований в 1882 році за допомогою наступної автономної системи ^[1] :

{\dot {x}}=x(x^{2}+y^{2}-1)-y(x^{2}+y^{2}+1),

{\dot {y}}=y(x^{2}+y^{2}-1)+x(x^{2}+y^{2}+1).

Ця система має нестійкий граничний цикл на одиничному колі у фазовому просторі, тобто на множині яка задовольняє алгебричне рівняння $x^{2}+y^{2}=1$ . На відміну від цього, в інших (навіть алгебричних) системах граничні цикли подекуди не можуть бути записаними за допомогою алгебричних рівнянь. Прикладом системи з токою властивістью є осцилятор Ван дер Поля:

{\dot {x}}=y,

{\dot {y}}=\mu (1-x^{2})y-x,

зі стійким граничним циклом (при параметрі нелінійного згасання $\mu >0$ ) який не має алгебричного виразу.^[3]

Заради прикладу напівстійкого граничного циклу можна розглянути наступну систему:

{\dot {x}}=-y+x(-1+x^{2}+y^{2})^{2},

{\dot {y}}=x+y(-1+x^{2}+y^{2})^{2}.

Напівстійкий граничний цикл цієї системи також лежить на одиничному колі.

Проблема існування

В загальному випадку, доведення існування граничного циклу є нетривіальною проблемою. Існують деякі критерії існування (на пр. Теорема Пуанкаре — Бендиксона) та неіснування граничних циклів (на пр. критерій Бендиксона — Дюлака^[en]), однак всі вони дають лише достатні умови.

Нерозв'язані проблеми

Друга частина Шістнадцятої проблеми Гільберта^[en].

Див. також

Література

Лекції

Limit cycles Лекція MIT [Архівовано 27 листопада 2015 у Wayback Machine.]. (англ.)
Limit cycles Відео лекція MIT [Архівовано 27 листопада 2015 у Wayback Machine.]. (англ.)

Підручники

Cristopher, Colin; Li, Chengzhi (2007). Limit Cycles of Differential Equations. Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8409-8. (англ.)
Ye, Yan-Qian; Lo, Chi Y (1986). Theory of Limit Cycles (Translations of Mathematical Monographs). American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4773-2. (англ.)
Bogoliubov, N.; Mitropolsky, Y. (1961). Asymptotic Methods in the Theory of Non-Linear Oscillations. Gordon & Breach. ISBN 978-0677200507. (англ.)

Посилання

↑ ^а ^б Ginoux, Jean-Marc (2009). Differential Geometry Applied to Dynamical Systems. World Scientific Series on Nonlinear Science Series A: Volume 66. ISBN 978-981-4277-14-3. (англ.)
↑ Arrowsmith, D. K.; Place, C.M. (1990). Ordinary Differential Equations: A Qualitative Aproach with Applications. Chapman and Hall. ISBN 978-0-412-22600-7. (англ.)
↑ Odani, Kenzi (1995). The Limit Cycle of the van der Pol Equation Is Not Algebraic. Nagoya University: Elsevier,Journal of Differential Equations, Volume 115, Issue 1. Архів оригіналу за 6 травня 2021. Процитовано 25 листопада 2015. (англ.)