У дорослому футболі дебютував 2005 року виступами за норвезький «Вікінг», в якому провів три сезони, взявши участь у 22 матчах чемпіонату.
Протягом сезону 2008 року на правах оренди захищав кольори «Буде-Глімта».
Після повернення до «Вікінга» в кінці 2008 року став основним півзахисником команди. Цього разу відіграв за команду зі Ставангера наступні три сезони своєї ігрової кар'єри.
До складу італійської «Пескари» приєднався влітку 2012 року на правах оренди, а в кінці року за 1,25 млн доларів став повноцінним гравцем «Пескари». Грав за пескарський клуб до літа 2015 року з перервою на виступи за клуб «Сампдорія» у серпні 2013 — червні 2014.
29 травня2010 року дебютував в офіційних матчах у складі національної збірної Ісландії. 2016 року був учасником тогорічного чемпіонату Європи та одним зі співавторів «ісландського дива» — новачок фінальних частин великих міжнародних турнірів Ісландія не лише подолала груповий етап, але й здолала на стадії 1/8 фіналу збірну Англії. Біркір на Євро-2016 став автором двох голів, перший з яких не лише приніс його команді нічию 1:1 у першому матчі групового етапу проти майбутніх переможців турніру португальців, але й став історичним першим голом ісландців у фінальних частинах великих міжнародних турнірів.
Після Євро-2016 Ісландія продовжила показувати високі результати і успішно кваліфікувалася до фінальної частини чемпіонату світу 2018 року, до заявки збірної на який Біркіра було включено у травні 2018.
Наразі провів у формі головної команди країни 65 матчів, забивши 9 голів.
.svg){kind=small}
.svg){kind=small}
