Народився в місті Тузла, але виріс у Градачаці[2]. У 6-річному віці розпочав займатися футболом у «Тріумфі», перш ніж приєднатися до юнацької академії «Звєзда» (Градачаць)[2]. Потім провів нетривалий проміжок часу в академії хорватського клубу «Осієк», але через проблеми з документами його не змогли підписати і зареєструвати, через що в 2020 році Адмір повернувся до Боснії і Герцеговини, де підписав контракт зі «Зрінськи»[2]. Рік по тому перейшов до молодіжної команди «Слобода» (Тузла), а в червні 2021 року повернувся до Хорватії, де став гравцем «Рієки».
На початку 2022 року «Рієка» відправила його в піврічну оренду в «Хрватскі Драговоляц»[3]. У вище вказаному клубі дебютував у Першій лізі Хоратії, зіграв чотирнадцять матчів та 11 лютого відзначився своїм першим голом у кар’єрі в переможному (5:0) поєдинку проти «Шибеника».
У січні 2023 року переїхав до Словенії, де приєднався до «Олімпії» (Любляна) з Першої ліги Словенії. Про трансфер було оголошено 15 грудня 2022 року, підписав контракт до червня 2026 року[4]. 22 лютого 2023 року відзначався першими двома голами за «Олімпію» в переможному (4:3) поєдинку чемпіонату проти «Гориці»[5]. 15 березня знову відзначився єдиним голом у переможному (1:0) матчу чемпіонату проти «Целє»[6]. З «Олімпією» Бристрич виграв Першу лігу Словенії 2022/23, відзначився 4-ма голами в 14-ти матчах чемпіонату[7].
16 червня 2024 року відправився в 1-річну оренду з правом викупу до «Полісся»[8].
Свій перший матч у складі молодіжної збірної Боснії та Герцеговини 23 вересня 2022 року в програному (0:3) товариському матчі проти Швейцарії, в якому вийшов у стартовому складі.
