Інтервали між простими числами — це різниці між двома послідовними простими числами. n-й інтервал, що позначається ${\displaystyle g_{n}}$, — це різниця між (n + 1)-м і n-м простими числами, тобто

${\displaystyle g_{n}=p_{n+1}-p_{n}.}$

Ми маємо: ${\displaystyle g_{1}=1,g_{2}=g_{3}=2,g_{4}=4}$. Послідовність ${\displaystyle g_{n}}$ інтервалів між простими числами добре вивчена. Іноді розглядають функцію ${\displaystyle g(p_{n})}$ замість ${\displaystyle g_{n}}$.

Перші 30 інтервалів між простими числами такі:

1, 2, 2, 4, 2, 4, 2, 4, 6, 2, 6, 4, 2, 4, 6, 6, 2, 6, 4, 2, 6, 4, 6, 8, 4, 2, 4, 2, 4, 14 (послідовність A001223 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

Для будь-якого простого числа P, символом P# ми будемо позначати прайморіал P, тобто добуток всіх простих чисел, що не перевершують P. Якщо Q — це просте число, наступне після P, то послідовність

${\displaystyle P\#+2,P\#+3,\dots ,P\#+(Q-1)}$

є послідовністю з ${\displaystyle Q-2}$ послідовних складених чисел, тому існують інтервали між простими числами довжиною не менше, ніж ${\displaystyle Q-1}$. Отже, існують як завгодно великі інтервали між простими числами, і для будь-якого простого P існує n таке, що ${\displaystyle g_{n}\geqslant P}$ (Очевидно, що для цього ми можемо вибрати n таким, що ${\displaystyle p_{n}}$ буде найбільшим простим числом, що не перевершує ${\displaystyle P\#+2}$.). Інший спосіб побачити, що існують як завгодно великі інтервали між простими числами, використовує той факт, що множина простих чисел має нульову щільність, відповідно до теореми про розподіл простих чисел.

Насправді, інтервал між простими величини P може зустрітися між простими, набагато меншими, ніж P#. Наприклад, найперша послідовність з 71 послідовних складеного числа знаходиться між 31398 і 31468, тоді як 71# є 27-значним числом.

Уже середнє значення інтервалів між простими зростає як натуральний логарифм n.

З іншого боку, гіпотеза про простих близнюків стверджує, що ${\displaystyle g_{n}=2}$ для нескінченно багатьох n.

Інтервали між простими можуть бути оцінені зверху і знизу за допомогою функції Якобсталя (послідовність A048670 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS).

На вересень 2017 року найбільший відомий інтервал між числами, визначеними як ймовірно прості, має довжину 6 582 144, з 216841-значними ймовірно простими знайшов Martin Raab^[1]. Найбільший відомий інтервал між простими числами — це інтервал довжини 1113106, з 18662-значними простими знайдений P. Cami, M. Jansen and J. K. Andersen.^[2][3]

Відношення M=g_n/ln(p_n) показує, у скільки разів даний інтервал g_n відрізняється від середнього інтервалу між простими поблизу простого числа p_n. На 2017 рік найбільше відоме значення M=41,93878373 виявлено для інтервалу довжиною 8350 після 87-значного простого числа 293703234068022590158723766104419463425709075574811762098588798217895728858676728143227. Цей рекорд знайдено в процесі розподілених обчислень Gapcoin.^[4]

Відношення S=g_n/ln²p_n (відношення Крамера — Шенкса — Гренвілла) вивчають у зв'язку з гіпотезою Крамера, яка стверджує, що ${\displaystyle g_{n}=O(\ln ^{2}p_{n})}$. Якщо не розглядати аномально високі значення S, що спостерігаються для ${\displaystyle p_{n}=2,3,7,}$ то найбільше відоме значення S = 0,9206386 виявлено для інтервалу довжиною 1132 після 16-значного простого числа 1693182318746371. Цей рекорд знайшов у 1999 році Bertil Nyman^[5] (послідовність A111943 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS містить це і всі попередні прості числа ${\displaystyle p_{n}\geq 23}$, що відповідають рекордним значенням S).

Будемо говорити, що ${\displaystyle g_{n}}$ є максимальним інтервалом, якщо для всіх ${\displaystyle k<n}$ буде ${\displaystyle g_{k}<g_{n}}$. Між першими ${\displaystyle n}$ простими числами спостерігається приблизно ${\displaystyle 2\ln n}$ максимальних інтервалів;^[6] див. також послідовність A005250 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS.

Перші 80 максимальних інтервалів (n не наводиться; див. OEIS A005669)

Від 1 до 30 # gn pn 1 1 2 2 2 3 3 4 7 4 6 23 5 8 89 6 14 113 7 18 523 8 20 887 9 22 1129 10 34 1327 11 36 9551 12 44 15683 13 52 19609 14 72 31397 15 86 155921 16 96 360653 17 112 370261 18 114 492113 19 118 1349533 20 132 1357201 21 148 2010733 22 154 4652353 23 180 17051707 24 210 20831323 25 220 47326693 26 222 122164747 27 234 189695659 28 248 191912783 29 250 387096133 30 282 436273009

Від 31 до 60 # gn pn 31 288 1294268491 32 292 1453168141 33 320 2300942549 34 336 3842610773 35 354 4302407359 36 382 10726904659 37 384 20678048297 38 394 22367084959 39 456 25056082087 40 464 42652618343 41 468 127976334671 42 474 182226896239 43 486 241160624143 44 490 297501075799 45 500 303371455241 46 514 304599508537 47 516 416608695821 48 532 461690510011 49 534 614487453523 50 540 738832927927 51 582 1346294310749 52 588 1408695493609 53 602 1968188556461 54 652 2614941710599 55 674 7177162611713 56 716 13829048559701 57 766 19581334192423 58 778 42842283925351 59 804 90874329411493 60 806 171231342420521

Від 61 до 80 # gn pn 61 906 218209405436543 62 916 1189459969825483 63 924 1686994940955803 64 1132 1693182318746371 65 1184 43841547845541059 66 1198 55350776431903243 67 1220 80873624627234849 68 1224 203986478517455989 69 1248 218034721194214273 70 1272 305405826521087869 71 1328 352521223451364323 72 1356 401429925999153707 73 1370 418032645936712127 74 1442 804212830686677669 75 1476 1425172824437699411 76 1488 5733241593241196731 77 1510 6787988999657777797 78 1526 15570628755536096243 79 1530 17678654157568189057 80 1550 18361375334787046697 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90

Вже у другій тисячі є інтервал, довжиною 34 числа, в якому немає простих чисел — (1327—1361). Причому, цей інтервал утримує свій рекорд довжини до десятої тисячі. Лише в дев'ятій тисячі є другий інтервал такої ж довжини — (8467-8501), а в десятій — довший інтервал (36 чисел) — (9551-9587), який і є найдовшим інтервалом перших десяти тисяч. Є також інтервал довжиною 32 числа — (5591-5623).

Постулат Бертрана стверджує, що для будь-якого k завжди існує хоча б одне просте число між k і 2 k, тому, зокрема, ${\displaystyle p_{n+1}<2p_{n}}$, звідки ${\displaystyle g_{n}<p_{n}}$.

Теорема про розподіл простих чисел говорить, що «середня довжина» інтервалів між простим p і наступним простим числом має порядок ${\displaystyle \ln p}$. Фактична довжина інтервалів може бути більшою або меншою від цього значення. Однак, з теореми про розподіл простих чисел можна вивести верхню оцінку для довжини інтервалів простих чисел: для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує таке N, що для всіх ${\displaystyle n>N}$ буде ${\displaystyle g_{n}<\varepsilon p_{n}}$.

Хохайзель першим показав^[7] що існує таке постійне ${\displaystyle \theta <1}$

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\ln x}}}$ при ${\displaystyle x\to +\infty }$

звідси слідує що

${\displaystyle g_{n}<p_{n}^{\theta },}$

для досить великого n.

Звідси випливає, що інтервали між простими стають як завгодно меншими по відношенню до простих: частка ${\displaystyle {\frac {g_{n}}{p_{n}}}}$ прямує до нуля при прямуванні n до нескінченності.

Хохайзель отримав для ${\displaystyle \theta }$ можливе значення 32999/33000. Цю оцінку поліпшив до 249/250 Гайльбронн,^[8] і до ${\displaystyle \theta ={\frac {3}{4}}+\varepsilon }$ для будь-якого ${\displaystyle \varepsilon >0}$ Чудаков^[ru].^[9]

Основне поліпшення отримав Інгем,^[10], який показав, що якщо

${\displaystyle \zeta (1/2+it)=O(t^{c})}$

для деякої константи ${\displaystyle c>0}$, Де O використовується в сенсі нотації O велике, то

${\displaystyle \pi (x+x^{\theta })-\pi (x)\sim {\frac {x^{\theta }}{\ln x}}}$

для будь-якого ${\displaystyle \theta >{\frac {1+4c}{2+4c}}}$. Тут, як завжди, ${\displaystyle \zeta }$ позначає дзета функцію Рімана, а ${\displaystyle \pi (x)}$ — функцію розподілу простих чисел, які не перевищують x. Відомо, що допускається ${\displaystyle c>{\frac {1}{6}}}$, звідки для ${\displaystyle \theta }$ можна взяти будь-яке число, більше ${\displaystyle {\frac {5}{8}}}$. З результату Інгема відразу випливає, що завжди існує просте число між числами ${\displaystyle n^{3}}$ і ${\displaystyle (n+1)^{3}}$ для досить великих n. Зауважимо, що ще не доведена гіпотеза Лінделефа, яка стверджує, що для c можна вибрати будь-яке додатне число, але з неї випливає, що завжди існує просте число між ${\displaystyle n^{2}}$ і ${\displaystyle (n+1)^{2}}$ для досить великих n (див. також Гіпотеза Лежандра). Якщо ця гіпотеза правильна, то можливо, що необхідна ще більш строга гіпотеза Крамера. Одним з досягнутих наближень до гіпотези Лежандра є доведений факт про те, що ${\displaystyle g(p_{n})=O({p_{n}}^{\frac {21}{40}})}$.^[11]

Мартін Гакслі показав, що можна вибрати ${\displaystyle \theta ={\frac {7}{12}}}$.^[12]

Останній результат належить Бакеру, Гарману і Пінцу, які показали, що ${\displaystyle \theta }$ можна взяти рівним 0,525.^[11]

2005 року Денієл Ґолдстон, Янос Пінц і Джем Їлдирим довели, що

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }{\frac {g_{n}}{\ln p_{n}}}=0}$

і пізніше покращили це^[13] до

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }{\frac {g_{n}}{{\sqrt {\ln p_{n}}}(\ln \ln p_{n})^{2}}}<\infty }$

2013 року Чжан Ітан представив статтю, де доводиться, що^[14]

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }g_{n}<70\,000\,000.}$

Цей результат багаторазово поліпшувався аж до

${\displaystyle \liminf _{n\to +\infty }g_{n}<247.}$

Зокрема, це означає, що множина всіх пар простих чисел, різниця між якими не перевищує 246, нескінченна^[15][16].

Роберт Ренкін^[en] довів, що існує константа ${\displaystyle c>0}$ така, що нерівність

${\displaystyle g_{n}>{\frac {c\cdot \ln n\cdot \ln \ln n\cdot \ln \ln \ln \ln n}{(\ln \ln \ln n)^{2}}}}$

зберігається для нескінченно багатьох значень n. Найкраще відоме значення для c на поточний момент — це ${\displaystyle c=2e^{\gamma }}$, де ${\displaystyle \gamma }$ — стала Ейлера-Маскероні.^[17] Пал Ердеш запропонував приз $5000 за доведення або спростування того, що константа c в наведеній нерівності може бути як завгодно великою.^[18]

Тут можливі ще кращі результати, ніж ті, які можуть бути отримані за припущення істинності гіпотези Рімана. Гаральд Крамер довів, що якщо гіпотеза Рімана істинна, то інтервали ${\displaystyle g(p_{n})}$ задовольняють співвідношенню

${\displaystyle g(p_{n})=O({\sqrt {p_{n}}}\ln p_{n}),}$

(тут використовується нотація O велике). Пізніше він припустив, що інтервали зростають значно менше. Грубо кажучи, він припустив, що

${\displaystyle g(p_{n})=O(\ln ^{2}p_{n}).}$

В даний момент на це вказують чисельні розрахунки. Для більш детальної інформації див. Гіпотеза Крамера.

Гіпотеза Андріци стверджує, що

${\displaystyle g(p_{n})<2{\sqrt {p_{n}}}+1.}$

Це слабке посилення гіпотези Лежандра, яка стверджує, що між будь-якою парою квадратів натуральних чисел існує хоча б одне просте число.

інтервал ${\displaystyle g_{n}}$ між n-м і (n+1)-м простими числами є прикладом арифметичної функції. В такому контексті зазвичай її позначають ${\displaystyle d_{n}}$ і називають різницею простих.^[18] Різниця простих не є мультиплікативною і не є адитивною.

• Гіпотеза Рімана
• Гіпотеза Крамера
• Гіпотеза Лежандра
• Гіпотеза Фірузбехт
• Відкриті проблеми в теорії чисел^[ru]

• Thomas R. Nicely, Some Results of Computational Research in Prime Numbers — Computational Number Theory [Архівовано 12 липня 2016 у Wayback Machine.]. Цей довідковий вебсайт містить перелік усіх перших відомих появ проміжків між простими числами.
• Weisstein, Eric W. Prime Difference Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
• http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=3143 [Архівовано 29 грудня 2019 у Wayback Machine.]
• Chris Caldwell, Gaps Between Primes [Архівовано 15 травня 2021 у Wayback Machine.]