Ін'єктивна оболонка — побудова в метричній геометрії, яка дає найменший ін'єктивний метричний простір, що включає даний метричний простір. Ця побудова багато в чому аналогічна побудові опуклої оболонки множини в евклідовому просторі.

Ін'єктивну оболонку вперше описав Джон Ізбел^[en] 1964 року^[1]. Пізніше її кілька разів перевідкрито^[2][3].

На даному метричному просторі ${\displaystyle M}$ розглядають усі функції ${\displaystyle f\colon M\to \mathbb {R} }$ такі, що

${\displaystyle f(x)+f(y)\geqslant |x-y|_{M}\geqslant |f(x)-f(y)|}$ для будь-яких ${\displaystyle x,y\in M}$,

для будь-якого ${\displaystyle x\in M}$ існує ${\displaystyle y\in M}$ таке, що ${\displaystyle f(x)+f(y)-|x-y|_{M}}$ довільно мале.

Далі множину цих функцій забезпечують метрикою

${\displaystyle |f-h|=\sup _{x\in M}|f(x)-h(x)|_{M}.}$

Отриманий метричний простір ${\displaystyle W}$ називають ін'єктивною оболонкою ${\displaystyle M}$.

• Простір ${\displaystyle M}$ можна розглядати як підпростір ${\displaystyle W}$; необхідне відображення ${\displaystyle M\to W}$ отримують зіставленням кожній точці ${\displaystyle x\in M}$ її дистанційної функції ${\displaystyle z\mapsto |x-z|_{M}}$.

• Ін'єктивна оболонка є ін'єктивним простором.
• Ін'єктивна оболонка компактного простору компактна.
  • Зокрема, будь-який компактний простір є підпростором компактного простору зі внутрішньою метрикою.
• Нехай ${\displaystyle {\hat {X}}}$ і ${\displaystyle {\hat {Y}}}$ — Ін'єктивні оболонки компактних метричних просторів ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$. Тоді

  ${\displaystyle d_{GH}({\hat {X}},{\hat {Y}})\leq 2\cdot d_{GH}(X,Y),}$

де ${\displaystyle d_{GH}}$ позначає метрику Громова — Гаусдорфа.

• Стала 2 в цій нерівності є оптимальною^[4].