Babası Lev Aleksandrovich Sobolev önemli bir hukukçu ve avukattı. 14 yaşında babasını kaybetti daha sonra yetişmesinde annesi Nataliya Georgievna'nın önemli katkıları oldu. Babasını kaybettiği sıralarda Harkov Teknik İşçi Okulunda kayıtlı iken, giriş sınavlarına hazırlandığı Leningrad 190. Lisesine kayıt olmaya hak kazandı. 1925'teki mezuniyetinden sonra girdiği Leningrad Üniversitesi Matematik ve Fizik Fakültesinde Smirnov'un dikkatini çekti. Sobolev tüm mesleki yaşamınca üzerinde çalışacağı diferansiyel denklemlere bu sırada ilgi duydu ve kariyerinin bu aşamasında bile yayınlayacağı sonuçlara ulaştı.
Akademik kariyer ve katkıları
1929'da üniversite eğitimini bitirdikten sonra birkaç farklı kurumda çalıştı. Bunlar arasında SSCB Bilimler Akademisi Sismoloji Enstitüsü Teorik Bölümü ve 1930-31'de çalıştığı Leningrad Elektroteknik Enstitüsü de vardı. 1932'de Steklov Matematik ve Fizik Enstitüsü Steklov Matematik ve Lebedev Fizik Enstitüleri olarak iki ayrı bölüme ayrıldığında, matematik bölümünün başına geçen Vinogradov, Sobolev'i beraber çalışmaya davet etti. Bu zamana kadar Sobolev kısmi türevli diferansiyel denklemlerin önemli bir sınıfının çözümü için yeni bir yöntem getiren derin çalışmalar yayınlamıştı. Bunlar Smirnov'la beraber çalıştığı dalga denkleminin fonksiyonel invariant çözümleri üzerineydi. Bu yöntemler elastik ortamların titreşimlerini tasvir eden dalga denkleminin kapalı çözümlerini sağladı. Bu çalışması için SSCB Bilimler Akademisine de korrespondan üye seçilmişti.
Enstitünün Moskova'ya taşınması üzerine oraya yerleşen Sobolev'in 30'lu yıllardaki çalışmaları matematikte birkaç dalın gelişimi üzerinde etkili oldu. 1930'larda ortaya attığı Sobolev Fonksiyon Uzayları kısa zamanda fonksiyonel analizin tüm bir alanını oluşturdu. Sobolev'in genelleştirilmiş fonksiyon (distribution, generalized function) kavramı Fransız Schwartz ve Rus Gelfand'ın katkılarıyla matematiğin merkez kavram ve alanlarından birini oluşturdu. 1939'da 31 yaşında Bilimler Akademisine asil üye seçilmesi ile, o zamana kadar bu unvanı alan en genç üye oldu.
II. Dünya Savaşı'nın başlamasıyla Enstitü Kazan'a taşındı. 1941'de Enstitünün başına getirilen Sobolev 1944'te bu görevinden ayrıldı. 1941'de daha sonra Devlet ödülü adını alacak Stalin ödülünü ilk alan kişi oldu.
1950'de nümerik matematiğe yöneldi ve Moskova Üniversitesi bünyesinde kurulan bu alandaki ilk bölümün başına geçti. 1956'da birkaç meslektaşıyla birlikte ülkenin doğusunda iyi eğitim kurumları oluşturulması ve araştırma faaliyetlerinin dengelenmesini önerdi. Planın kabul edilmesi sonrası kendi elemanlarını belirleyip doğuya gitti. 1960-1978 arasında Bilimler Akademisi Sibirya bölümü Matematik Enstitüsü ve Novosibirsk Üniversitesinde profesörlük görevlerini yürüttü. Zorluklarla dolu kuruluş döneminde, kendi mükemmel örneğiyle genç meslektaşlarına bilimsel çalışmanın en iyi alışkanlıklarını aşıladı.
