Olasılık yoğunluk fonksiyonu

Olasılık kuramı ve istatistik bilim dallarında bir rassal değişken X için olasılık yoğunluk fonksiyonu bir reel sayılı sürekli fonksiyonu olup f ile ifade edilir ve şu özellikleri olması gereklidir:

  • üzerinde pozitif veya sıfır değerleri alır;
  • üzerinde integral değeri bulunabilir;
  • koşuluna uyar, yani eğri altındaki tüm alan bire eşittir.

Xin a ve b değerleri arasındaki olasılık, yani şu ifade kullanılarak hesaplanır:

Yani olasılık değeri f(x) integralini f(x) fonksiyonunu X=a ve X=b değerleri arasında entegrasyonu ile elde edilir.

Örneğin: X rassal değişkeninin [4.3,7.8] aralığında olasılık şöyle bulunur:

Ayrık dağılım ile sürekli dağılım arasındaki bağlantı

Bu maddenin başlangıcında verilmiş olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımın bir sürekli dağılım ile ilişkili değişkenin [a; b] aralığı ile ilişkili çift-değerli ayrık değişkenler seti kullanılarak yapılmıştır.

Diğer bazı aralıklı rassal değişkenleri temsili, Dirac delta fonksiyonu aracılığı ile olasılığın yoğunluğun bulunması suretiyle de yapılabilir. Örneğin, bir çift-değerli her biri ½ olasılığı olan -1 ve 1 değerli bir rassal değişken ele alınsın. Bu değişkenle ilişkili olasılık yoğunluğu şöyle verilir:

Daha genel olarak, eğer bir ayrık değişken reel sayılar arasından 'n' tane değişik değer alınsın; o halde bunlarla ilişkili olasılık yoğunluk fonksiyonu şudur:

Burada değişken ait değerler olur ve bu değerlerle ilişkili olasılıklardır.

Bu ifade bir ayrık değişken için istatistiksel özellikleri (örneğin ortalama, varyans, çarpıklık, basıklık) sürekli dağılım için geliştirilmiş formülleri kullanarak hesaba başlayarak sonuçların bulunmasını sağlar.

Matematiksel olmayan olasılık yoğunluk tanımı

Bir olasılık dağılımı için yoğunluk fonksiyonu ancak ve ancak yığmalı dağılım fonksiyonu F(x) mutlak süreklilik gösteriyorsa mümkündür. Bu halde F için nerede ise her yerde türev bulunabilir ve F için alınan birinci türev olasılık ile yoğunluk şöyle bulunur:

Eğer bir olasılık dağılım için yoğunluk bulunması mümkün ise rassal değişken için her bir nokta değer (a) için olasılık 0 olacaktır.

Her olasılık dağılımı için bir yoğunluk fonksiyonu bulunamaz. Başta ayrık rassal değişkenler için olasılık yoğunluk fonksiyonu yoktur. Hiçbir noktaya pozitif olasılık vermeyen, yani hiç aralık parçası olmayan Kantor dağılımı için de yoğunluk fonksiyonu bulunmaz.

Bir yığmalı dağılım fonksiyonunun türevi ile olasılık yoğunluk fonksiyonu arasındaki ilişkinin karmaşık matematik biçimlerden biraz aranmış açıklaması istatistiksel fizik dalında geliştirilmiştir ve bu genellikle olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımı olarak kullanılabilir. Bu tanım şöyle yapılır:

dt sonsuz derece küçük bir sayı olarak alınsın. in (t, t + dt) aralığında bulunacağı ifadesine eşittir; yani

Moment, beklenen değer ve varyans

Sürekli X rassal değişkeni için ninci momenti E(Xn) gösterilip şu ifade ile verilir:

Beklenen değer o zaman birinci moment olup şöyle verilir:

Varyans ise şöyle verilir:

Bu ifade açılırsa

olur.

Çoklu değişkenlerle ilişkili olasılık fonksiyonu

Sürekli rassal değişkenler olan için, bu değişkenlerinin tümünü kapsayan rassal vektör için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu tanımlamak mümkündür. Buna ortak olasılık yoğunluk fonksiyonu adı verilir. n değişkenli bu yoğunluk fonksiyonu matematik notasyon biçimleriyle şöyle tanımlanır. değişkenlerin değerleriyle tanımlanan n-boyutlu uzayda bulunan herhangi bir D sahası alınsın; bu değişken setinin D sahası içine düşen bir realizasyonun bulunacağının olasılığı şöyle verilir:

i=1, 2, …,n için tek bir değişken ile ilişkili olasılık yoğunluk fonksiyonu olarak ifade edilsin. Bu olasılık yoğunluğu rassal değişkenlerle ilişkili olasılık yoğunluklarından n - 1 tane diğer değişkenlerle entegrasyonu suretiyle elde edilir:

Bağımsızlık

Sürekli rassal değişken olan birbirlerinden bağımsız olmaları için

koşuluna tam olarak uymaları gerekir.

Eğer n elemanlı bir rassal değişken vektörünün ortak olasılık dağılımı tek bir değişken için n değişik fonksiyona faktörize edilebilirse; yani

ise, o halde, n değişkenin hepsi birbirlerinden bağımsızlık gösteriyor demektir. Bu halde her bir fonksiyon için marjinal olasılık yoğunluk fonksiyonu şöyle verilir:

Örneğin

Çoklu boyutlu olasılık yoğunluk fonksiyonlarının verilen tanımını biraz daha açığa kavuşturmak için basit bir örneğin alınsın; bu iki bilinmeyenli bir rassal vektör olsun. Koordinatları olan iki boyutlu rassal vektör, olarak isimlendirilsin. Pozitif x ve pozitif y kuadrantları içinde için olasılık elde etmek şöyle

olur.

Kaynakça

fr: İlk defa olasılık kuramı ile değişkenler hesabını bileştiren temel eser.
  • Kolmogorov, Andrei Nikolajevich (1933). Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitrechnung. 
de:Olasılık kuramının ilk defa modern ölçü-teorisi temeline konulması. İngilizce tercümesi Foundations of the Theory of Probability olarak 1950de yayınlanmıştır.

Ayrıca bakınız

Read other articles:

Part of the Viking invasions of England (870) Battle of EnglefieldPart of the Viking invasions of EnglandA page in the Anglo-Saxon Chronicle describing the Battle of EnglefieldDateAbout 31 December 870LocationEnglefield, BerkshireResult Saxon VictoryBelligerents Wessex DenmarkCommanders and leaders Æthelwulf of Berkshire Two Earls vteViking invasions of England Lindisfarne Hingston Down Great Heathen Army (865–78) Alcea York Englefield Reading Ashdown Basing Meretun Chipp...

 

Japanese actor Shunji FujimuraBorn(1934-12-08)December 8, 1934Kamakura, Kanagawa, JapanDiedJanuary 25, 2017(2017-01-25) (aged 82)Occupation(s)Actor, voice actor, narratorYears active1960–2015 Shunji Fujimura (藤村 俊二, Fujimura Shunji, December 8, 1934 – January 25, 2017)[1] was a Japanese actor from Kamakura, Kanagawa, Japan.[2] He appeared in the second series of Monkey as the horse. He appeared in the Death Note live-action movie as Quillsh Wammy A.K.A. W...

 

Questa voce o sezione sull'argomento competizioni cestistiche non cita le fonti necessarie o quelle presenti sono insufficienti. Puoi migliorare questa voce aggiungendo citazioni da fonti attendibili secondo le linee guida sull'uso delle fonti. National Basketball Association 1974-1975Dettagli della competizioneSport Pallacanestro OrganizzatoreNBA Periodo17 ottobre 1974 —25 maggio 1975 Squadre18  (in 4 gironi) VerdettiTitolo East Washington Bullets Titolo West G.S. Warr...

InostranceviaRentang fosil: Wuchiapingian, 265.0–252.3 jtyl PreЄ Є O S D C P T J K Pg N [1] Pajangan kerangka Inostrancevia alexandri Gigi Inostrancevia (atas) dibandingkan dengan gigi therapsida Leogorgon (bawah) Klasifikasi ilmiah Kerajaan: Animalia Filum: Chordata (tanpa takson): Klad Therapsida Famili: †Gorgonopsidae Subfamili: †Inostranceviinae Genus: †InostranceviaAmalitsky, 1922 Spesies tipe †Inostrancevia alexandriAmalitsky, 1922 Spesies I. alexandri Amalitsk...

 

German media group, a subsidiary of RTL Group RTL Deutschland GmbHFormerlyMediengruppe RTL Deutschland (2007–2021)Company typeDivisionFounded2007; 17 years ago (2007)HeadquartersCologne, GermanyKey peopleStephan SchäferMatthias Dang (CEOs)Alexander GlatzJulia ReuterProductsTelevision, broadcasting, content productionRevenue €2,127 million (2020)ParentRTL GroupDivisionsRTLVOXn-tvSuper RTLWebsitecompany.rtl.comFootnotes / references[1] Alternati...

 

« CO2 » redirige ici. Pour les autres significations, voir CO2 (homonymie). « E290 » redirige ici. Pour les autres significations, voir E290 (homonymie). Dioxyde de carbone Structure du dioxyde de carbone. Identification Nom UICPA Dioxyde de carbone Synonymes Gaz carbonique, anhydride carbonique No CAS 124-38-9 No ECHA 100.004.271 No CE 204-696-9 Code ATC V03AN02 PubChem 280 ChEBI 16526 No E E290 SMILES C(=O)=O PubChem, vue 3D InChI InChI : vue 3D InChI=1S/CO...

У этого термина существуют и другие значения, см. Тур. Запрос «Bos taurus primigenius» перенаправляется сюда; см. также другие значения. † Тур Скелет тура Научная классификация Домен:ЭукариотыЦарство:ЖивотныеПодцарство:ЭуметазоиБез ранга:Двусторонне-симметричныеБез ранга:В...

 

格奥尔基·马林科夫Гео́ргий Маленко́в苏联共产党中央书记处书记(排名第一)任期1953年3月5日—1953年3月13日前任约瑟夫·斯大林继任尼基塔·赫鲁晓夫(第一书记)苏联部长会议主席任期1953年3月5日—1955年2月8日前任约瑟夫·斯大林继任尼古拉·布尔加宁 个人资料出生1902年1月8日[儒略曆1901年12月26日] 俄罗斯帝国奥伦堡逝世1988年1月14日(1988歲—01—14)(86歲)&#...

 

Mikko Hirvonen Hirvonen under Rally Australia 2006PersondataNationalitet FinskFödelsedatum31 juli 1980 (43 år)FödelsestadJyväskylä, FinlandKarriär i WRCAktiv2002 – 2014StallFord, Subaru, Renault, Škoda, CitroënKartläsareJarmo LehtinenTidigare kartläsareMiikka AnttilaTävlingar163Mästartitlar0Segrar15Pallplatser69Sträcksegrar260Totalpoäng1210Första tävlingRally Finland 2002Första segerRally Australia 2006Sista segerRally Sardegna 2012Sista tävlingWales Rally GB 2014 Mik...

2020年夏季奥林匹克运动会波兰代表團波兰国旗IOC編碼POLNOC波蘭奧林匹克委員會網站olimpijski.pl(英文)(波兰文)2020年夏季奥林匹克运动会(東京)2021年7月23日至8月8日(受2019冠状病毒病疫情影响推迟,但仍保留原定名称)運動員206參賽項目24个大项旗手开幕式:帕维尔·科热尼奥夫斯基(游泳)和马娅·沃什乔夫斯卡(自行车)[1]闭幕式:卡罗利娜·纳亚(皮划艇)&#...

 

Australian chef David ThompsonDavid Thompson addresses a plenary session at the Oxford Symposium on Food and Cookery, 2012BornSydney, AustraliaCulinary careerCooking styleThai cuisine Current restaurant(s) Long Chim Perth, Long Chim Sydney, Aaharn Hong Kong, Aksorn Bangkok, Chop Chop Cook Shop Previous restaurant(s) Darley Street Thai, Sailor’s Thai, Nahm London, Nahm Bangkok, Long Chim Singapore, Long Chim Melbourne and Long Chim Seoul David Thompson (Thai: เดวิด ทอมป์�...

 

حروب فرنسا الدينية جزء من الحروب الدينية في أوروبا تصوير لمذبحة سان بارتيليمي التي قام بها فرانسوا دوبوا معلومات عامة التاريخ مارس 1562 - أبريل 1598 (36 عامًا وشهرًا واحدًا) من أسبابها هوغونوتيون  تسببت في هنري الرابع ملك فرنسا،  ومرسوم نانت  الموقع  فرنسا النتيجة هدن�...

Pandemi koronavirus di AfghanistanJumlah kasus COVID-19 yang dikonfirmasi berdasarkan Provinsi di Afganistan pada 16 Mei 2020.   1–49 kasus terkonfirmasi   50–99 kasus terkonfirmasi   100–199 kasus terkonfirmasi   200–999 kasus terkonfirmasi   ≥1000 kasus terkonfirmasiPenyakitCOVID-19Galur virusSARS-CoV-2LokasiAfghanistanKasus pertamaHeratTanggal kemunculan24 Februari 2020(4 tahun, 3 bulan, 1 minggu dan 1 hari)Asa...

 

L'inscription sur la porte de l'église Saint-Benoît à Istanbul, rappelant la restauration de 1687. Ad maiorem Dei gloriam ou en lettres ramistes Ad majorem Dei gloriam est une locution latine qui signifie « Pour une plus grande gloire de Dieu »[1] et qui se rencontre dans les œuvres de Grégoire le Grand : « sed ad maiorem Dei gloriam vicit pietas illud pectus virtutis »[2] ; l'Abbé Henry dans sa traduction en français publiée par Mame à Tours en 185...

 

Stadium in Riga, Latvia Riga Speedway StadiumThe stadium ready for the 2023 Speedway Grand Prix of LatviaLocationSergeja Eizenšteina iela 2, Vidzemes priekšpilsēta, Riga, LV-1079, LatviaCoordinates56°57′54″N 24°13′52″E / 56.96500°N 24.23111°E / 56.96500; 24.23111OperatorMotorcycle speedwayOpened1976 (reopened 2014) The Riga Speedway Stadium or the Biķernieki Speedway Stadium is a multi-use stadium in the Eastern part of Riga, Latvia. [1] The sta...

United Nations resolution adopted in 2003 UN Security CouncilResolution 1484Location of Bunia in Ituri region of the Democratic Republic of the CongoDate30 May 2003Meeting no.4,764CodeS/RES/1484 (Document)SubjectThe situation concerning the Democratic Republic of the CongoVoting summary15 voted forNone voted againstNone abstainedResultAdoptedSecurity Council compositionPermanent members China France Russia United Kingdom United StatesNon-permanent members A...

 

Periodo Epoca Piano Età (Ma) Cretacico Cretacico inferiore Berriasiano Più recente Giurassico Giurassico superiore Titoniano 145,5–150,8 Kimmeridgiano 150,8–155,7 Oxfordiano 155,7–161,2 Giurassico medio Calloviano 161,2–164,7 Bathoniano 164,7–167,7 Bajociano 167,7–171,6 Aaleniano 171,6–175,6 Giurassico inferiore Toarciano 175,6–183,0 Pliensbachiano 183,0–189,6 Sinemuriano 189,6–196,5 Hettangiano 196,5–199,6 Triassico Triassico superiore Retico Più antico Suddivi...

 

Country in Oceania This article is about the country. For other uses, see Tuvalu (disambiguation). Ellice Islands redirects here. For Ellis Island in New York, see Ellis Island. Not to be confused with Tuva or Tuval. TuvaluTuvalu (Tuvaluan) Flag Coat of arms Motto: Tuvalu mo te Atua (Tuvaluan)Tuvalu for the AlmightyAnthem: Tuvalu mo te Atua (Tuvaluan)Tuvalu for the AlmightyCapitaland largest cityFunafuti8°31′S 179°12′E / 8.517°S 179.200°E / -8.517; 17...

Un ensemble de documents organisés. Un fonds d’archives est fréquemment défini comme étant un ensemble de documents organiquement et automatiquement rassemblé par une entité physique ou morale dans le cadre de ses fonctions ou de son activité[1],[2]. Description (principes et caractéristiques) La constitution d’un fonds d’archives repose sur le principe de respect des fonds. Les documents qui le composent doivent appartenir à la même entité physique ou morale. Tous les docume...

 

Pseudoscientific heory of multiple types of human intelligence The intelligence modalitiesThe theory of multiple intelligences (MI) proposes the differentiation of human intelligence into specific distinguishable multiple intelligences, rather than defining it as a single general ability.  Since 1983, the theory has been popular among educators around the world. In the influential book Frames of Mind: The Theory of Multiple Intelligences (1983) and its sequels, Howard Gardner identifies ...